[Controlli Automatici] Controlli Non Standard
Ciao a Tutti, sono nuovo del circuito!!
Sto preparando un esame di Fondamenti di Automatica e mi sono incagliato con i controllori non standard in particolare modo con una tipologia di esercizio. Ve lo propongo:
Si considera il sistema con funzione di trasferimento $ P(z) = 1/(z-1) $ . se l'obiettivo è una rampa unitaria:
$ a) $ Esiste un Controllore proporzionale che assicura un errore sul lungo periodo in modulo minore di $ 3/4 $ ed un errore transitorio che tende a $ 0 $ riducendosi in modulo, ad ogni passo , almeno del $ 60% $ ?se si, determinare il valore.
$ b) $ Esiste un Controllore proporzionale che assicura un errore sul lungo periodo in modulo minore di $ 1 $ ed un errore transitorio che tende a $ 0 $ in un numero finito di passi? se si, determinare il valore.
Aspetto vostre notizie, Grazie mille in Anticipo.
Sto preparando un esame di Fondamenti di Automatica e mi sono incagliato con i controllori non standard in particolare modo con una tipologia di esercizio. Ve lo propongo:
Si considera il sistema con funzione di trasferimento $ P(z) = 1/(z-1) $ . se l'obiettivo è una rampa unitaria:
$ a) $ Esiste un Controllore proporzionale che assicura un errore sul lungo periodo in modulo minore di $ 3/4 $ ed un errore transitorio che tende a $ 0 $ riducendosi in modulo, ad ogni passo , almeno del $ 60% $ ?se si, determinare il valore.
$ b) $ Esiste un Controllore proporzionale che assicura un errore sul lungo periodo in modulo minore di $ 1 $ ed un errore transitorio che tende a $ 0 $ in un numero finito di passi? se si, determinare il valore.
Aspetto vostre notizie, Grazie mille in Anticipo.
Risposte
Da parte tua almeno un tentativo di soluzione , se vuoi essere aiutato.
Ti suggerisco una lettura del regolamento.
Ti suggerisco una lettura del regolamento.
Grazie Camillo,
hai ragione, non mi sembrava il caso di prolungarmi sulla consegna.
Allora ti ripropongo il mio ragionamento e i miei dubbi.
Svolgimento del punto $ a $ :
- Mi trovo la $ F(z) $ :
$ F(z) = P(z) xx Cp => F(z)= (Cp)/(z-1) $
- Di conseguenza:
$ dw(z) = nf(z) + df(z) => dw(z) = Cp + z - 1 $ con $d$ e $n$ intesi come denominatore e numeratore
- Mi trovo il Controllore Proporzionale:
$ Cp = 1 $
- Faccio il Limite:
$ lim (1 / (1+F(bar(z) ))) $ con $ (bar(z)->1)$ e $ (bar(z))= z xx 60% $
-Trovato il Limite, Faccio il modulo e lo pongo $ < $ a $ 3/4 $ cosi mi vado a calcolare l'intervallo di esistenza di $ Cp $ e quindi vedo se il controllore trovato in precedenza cade all'interno di questo intervallo.
Ora non so quanto sia giusto il ragionamento di tale esercizio, poichè leggendo sul libro e su i miei appunti mi sono venuti dei dubbi, in quanto considerando anche diversi target notevoli : a Scalino unitario, Rampa a pendenza unitaria e andamento Parabolico; Il loro Target vari.
Mi aiuteresti a fare chiarezza su questi esercizi?
Grazie mille!!
hai ragione, non mi sembrava il caso di prolungarmi sulla consegna.
Allora ti ripropongo il mio ragionamento e i miei dubbi.
Svolgimento del punto $ a $ :
- Mi trovo la $ F(z) $ :
$ F(z) = P(z) xx Cp => F(z)= (Cp)/(z-1) $
- Di conseguenza:
$ dw(z) = nf(z) + df(z) => dw(z) = Cp + z - 1 $ con $d$ e $n$ intesi come denominatore e numeratore
- Mi trovo il Controllore Proporzionale:
$ Cp = 1 $
- Faccio il Limite:
$ lim (1 / (1+F(bar(z) ))) $ con $ (bar(z)->1)$ e $ (bar(z))= z xx 60% $
-Trovato il Limite, Faccio il modulo e lo pongo $ < $ a $ 3/4 $ cosi mi vado a calcolare l'intervallo di esistenza di $ Cp $ e quindi vedo se il controllore trovato in precedenza cade all'interno di questo intervallo.
Ora non so quanto sia giusto il ragionamento di tale esercizio, poichè leggendo sul libro e su i miei appunti mi sono venuti dei dubbi, in quanto considerando anche diversi target notevoli : a Scalino unitario, Rampa a pendenza unitaria e andamento Parabolico; Il loro Target vari.
Mi aiuteresti a fare chiarezza su questi esercizi?
Grazie mille!!
C'è qualcosa che non capisco: se la specifica è riferita all'errore del sistema di controllo, perchè nel tuo ragionamento dell'errore non ce n'è traccia?
Riflettici
Riflettici
Infatti, ieri, vendendo i miei appunti ho iniziato a ragionare in questo modo (anche se non sò quanto possa essere giusto!):
Dato che:
(Definisco $ hat(Y)(z) $ come target notevole o meglio obiettivo [ a Scalino unitario, Rampa a pendenza unitaria e andamento Parabolico])
$ E(z) = hat(Y)(z)- Y(z) $ e sapendo che $ Y(z)=W(z)xx hat(Y)(z) $
avrò:
$ E(z) = (1-W(z)) xx hat(Y)(z) $ con $ W(z) = (F(z))/(1+F(z)) $
Con opportune semplificazioni:
$ E(z) = (1-(F(z))/(1+F(z))) xx hat(Y)(z) => E(z) = (1/(1+F(z))) xx hat(Y)(z) $
quindi per il Th. del Valore Finale:
$ lim (E(bar(z))xx((bar(z)-1)/bar(z))) $ con $ [z->1] $
A questo punto avevo pensato di riagganciarmi al ragionamento riportato sopra, in cui $ F(z) = P(z) xx Cp$ e $ bar(z) = z xx 60% $, così trovandomi il limite $ L $ e ponendolo in modulo $ < $ di $ 3/4 $ vedevo in quale intervallo dovrebbe cadere il mio $ Cp $.
Help me Pleasee!!
Dato che:
(Definisco $ hat(Y)(z) $ come target notevole o meglio obiettivo [ a Scalino unitario, Rampa a pendenza unitaria e andamento Parabolico])
$ E(z) = hat(Y)(z)- Y(z) $ e sapendo che $ Y(z)=W(z)xx hat(Y)(z) $
avrò:
$ E(z) = (1-W(z)) xx hat(Y)(z) $ con $ W(z) = (F(z))/(1+F(z)) $
Con opportune semplificazioni:
$ E(z) = (1-(F(z))/(1+F(z))) xx hat(Y)(z) => E(z) = (1/(1+F(z))) xx hat(Y)(z) $
quindi per il Th. del Valore Finale:
$ lim (E(bar(z))xx((bar(z)-1)/bar(z))) $ con $ [z->1] $
A questo punto avevo pensato di riagganciarmi al ragionamento riportato sopra, in cui $ F(z) = P(z) xx Cp$ e $ bar(z) = z xx 60% $, così trovandomi il limite $ L $ e ponendolo in modulo $ < $ di $ 3/4 $ vedevo in quale intervallo dovrebbe cadere il mio $ Cp $.
Help me Pleasee!!
Nota l'espressione dell'errore ( peraltro corretta ), sostituisci al posto del target la sua espressione ( cioè la trasformata della rampa lineare ) e poi devi risolvere il limite che viene fuori dal teorema del valore finale
Quindi vediamo se ho capito bene:
Sostituisco come detto in precendenza $ hat(Y)(z)= z/(z-1)^(2) $ (Trasformata notevole) e risolvo il limite del Th del Valore Finale andando a sostituire tutte le $ bar(z)=z xx 60% $(quindi quelle di $ E(bar(z)) $ e $ hat(Y)(bar(z)) $) cosi che, poi dovrò calcolare solo il modulo del limite posto minore a $ 3/4 $ $ => abs(L)< 3/4 $ e quindi vedere se, il mio $ Cp = 1 $ scoperto in precendenza, ricade in questo intervallo descritto dallo studio del modulo?
Ho capito bene o non ci ho capito nulla!!
Scusami ma il mio nodo che non riesco a sciogliere sta proprio qua!! Per questo motivo cercavo una soluzione dell'esercizio cosi che riuscivo a sciogliere questo ingarbugliamento mentale.
Non riesco a capire se il mio ragionamento è giusto o no, oppure se è giusto solo una parte.
Grazie mille per la tua Pazienza..Thanks so much!
Sostituisco come detto in precendenza $ hat(Y)(z)= z/(z-1)^(2) $ (Trasformata notevole) e risolvo il limite del Th del Valore Finale andando a sostituire tutte le $ bar(z)=z xx 60% $(quindi quelle di $ E(bar(z)) $ e $ hat(Y)(bar(z)) $) cosi che, poi dovrò calcolare solo il modulo del limite posto minore a $ 3/4 $ $ => abs(L)< 3/4 $ e quindi vedere se, il mio $ Cp = 1 $ scoperto in precendenza, ricade in questo intervallo descritto dallo studio del modulo?
Ho capito bene o non ci ho capito nulla!!
Scusami ma il mio nodo che non riesco a sciogliere sta proprio qua!! Per questo motivo cercavo una soluzione dell'esercizio cosi che riuscivo a sciogliere questo ingarbugliamento mentale.
Non riesco a capire se il mio ragionamento è giusto o no, oppure se è giusto solo una parte.
Grazie mille per la tua Pazienza..Thanks so much!
Nel post precedente mi sono dimenticato di chiederti da dove viene fuori la condizione $ tilde(z)=z*60% $ perchè proprio non la comprendo.
Per quanto riguarda la trasformata, mi trovo d'accordo con te
Per quanto riguarda la trasformata, mi trovo d'accordo con te
$ a) $ Esiste un Controllore proporzionale che assicura un errore sul lungo periodo in modulo minore di $ 3/4 $ ed un errore transitorio che tende a $ 0 $ riducendosi in modulo, ad ogni passo , almeno del $ 60% $ ?se si, determinare il valore.
Io ho ragionato che se ogni passo si riduce del $ 60% $, allora è la $ z $ che ad ogni passo dovrà ridursi.
Mentre per la questione di porre il $ abs(L) < 3/4 $ secondo te può andare nel calcolarmi il $ Cp $ richiesto dal problema?
Comunque, Io lo risolverei così l'esercizio, ma cercavo delle conferme.
Ragionamento di risoluzione:
$ 1) $ mi trovo il $ Cp $ iniziale $ => Cp + z - 1 = 0$ ponendo poi $ z=0 $ avrò quindi $ Cp = 1$
$ 2) $ mi vado a costruire il limite con il target dell'obiettivo, ($Vedi sopra$)
$ 3 ) $ faccio il Limite facendo ridurre del $ 60% $ la $ z $ e facendo tendere $ z->1 $
$ 4) $ calcolato il limite $ L $, che avrà ancora il $ Cp $ al denominatore;
Pongo $ abs(L) < 3/4 $ , trovandomi dunque degli intervalli $ I $
$ 5) $ confronto il $ Cp $ iniziale, quello $ Cp=1 $ ,se ricade negli intervalli trovati tramite lo studio del modulo
Potrebbe andare? oppure ho Toppato qualcosa nel trovarmi questo controllore che assicura queste cose?
Te come lo faresti?
Grazie mille ancora per il supporto!!!
Io ho ragionato che se ogni passo si riduce del $ 60% $, allora è la $ z $ che ad ogni passo dovrà ridursi.
Mentre per la questione di porre il $ abs(L) < 3/4 $ secondo te può andare nel calcolarmi il $ Cp $ richiesto dal problema?
Comunque, Io lo risolverei così l'esercizio, ma cercavo delle conferme.
Ragionamento di risoluzione:
$ 1) $ mi trovo il $ Cp $ iniziale $ => Cp + z - 1 = 0$ ponendo poi $ z=0 $ avrò quindi $ Cp = 1$
$ 2) $ mi vado a costruire il limite con il target dell'obiettivo, ($Vedi sopra$)
$ 3 ) $ faccio il Limite facendo ridurre del $ 60% $ la $ z $ e facendo tendere $ z->1 $
$ 4) $ calcolato il limite $ L $, che avrà ancora il $ Cp $ al denominatore;
Pongo $ abs(L) < 3/4 $ , trovandomi dunque degli intervalli $ I $
$ 5) $ confronto il $ Cp $ iniziale, quello $ Cp=1 $ ,se ricade negli intervalli trovati tramite lo studio del modulo
Potrebbe andare? oppure ho Toppato qualcosa nel trovarmi questo controllore che assicura queste cose?
Te come lo faresti?
Grazie mille ancora per il supporto!!!
Analizziamo questo primo punto
Dunque, come hai calcolato, si ha:
$ E(z)=(tilde(Y)(z))/(1+C(z)P(z)) $
Nel lungo periodo ( vuol dire sostanzialmente a regime ), si ha:
$E(oo)=lim_(z -> 1)(z-1)/z E(z) =lim_(z -> 1)(z-1)/z(z/(z-1)^2)/(1+C_p1/(z-1)) =1/(C_p) $*
Poichè la specifica fa riferimento al modulo, allora devo imporre:
$ |1/(C_p)|<3/4 $
da cui è possibile ricavare $C_p$
*Ricontrolla i passaggi potrei aver commesso errori.
Ora sulla seconda parte vorrei farti ragionare ancora un pò
"Sunshine11":
$ a) $ Esiste un Controllore proporzionale che assicura un errore sul lungo periodo in modulo minore di $ 3/4 $
Dunque, come hai calcolato, si ha:
$ E(z)=(tilde(Y)(z))/(1+C(z)P(z)) $
Nel lungo periodo ( vuol dire sostanzialmente a regime ), si ha:
$E(oo)=lim_(z -> 1)(z-1)/z E(z) =lim_(z -> 1)(z-1)/z(z/(z-1)^2)/(1+C_p1/(z-1)) =1/(C_p) $*
Poichè la specifica fa riferimento al modulo, allora devo imporre:
$ |1/(C_p)|<3/4 $
da cui è possibile ricavare $C_p$
*Ricontrolla i passaggi potrei aver commesso errori.
Ora sulla seconda parte vorrei farti ragionare ancora un pò
Ho rincontrollato il calcolo del limite e a me verrebbe diverso dal tuo ( sto pensando anche a qualche limite notevole, ma non me ne vengono con $ z->1$).
il limite a me Verrebbe:
$1/(Cp)$
quindi sarebbe:
$ abs(1/(Cp))< 3/4 $
perciò con lo studio del modulo dovrebbe venire :
$ Cp > 4/3 $ e $ Cp < -4/3 $
Ho scritto qualche Sfondone??
il limite a me Verrebbe:
$1/(Cp)$
quindi sarebbe:
$ abs(1/(Cp))< 3/4 $
perciò con lo studio del modulo dovrebbe venire :
$ Cp > 4/3 $ e $ Cp < -4/3 $
Ho scritto qualche Sfondone??
Dovresti farmi vedere i passaggi; io ho ricontrollato il mio e pare che vada bene.
Incolla i tuoi passaggi e vediamo
Incolla i tuoi passaggi e vediamo
ok, ti mostro i miei passaggi:
Quindi : $ E(z)= hat(Y)(z) \cdot (1/(1+((Cp)/(z-1)))) $
Il Limite del Th del Valore Finale: $ Lim [ z/(z-1)^2 \cdot (1/(1+((Cp)/(z-1)))) \cdot (z-1)/z] $ Naturalmente con $(z->1)$
perciò Sviluppo il membro centrale e il limite diventerebbe: $ Lim [ z/(z-1)^2 \cdot ((z-1)/((z-1)+Cp))) \cdot (z-1)/z] $
quindi facendo tendere ora $ z->1$ avrò il limite, dopo dovute semplificazioni dei $(z-1)$: $ Lim [ 1/((z-1)+Cp)] => 1/(Cp) $
Sbagliato qualcosa?
Quindi : $ E(z)= hat(Y)(z) \cdot (1/(1+((Cp)/(z-1)))) $
Il Limite del Th del Valore Finale: $ Lim [ z/(z-1)^2 \cdot (1/(1+((Cp)/(z-1)))) \cdot (z-1)/z] $ Naturalmente con $(z->1)$
perciò Sviluppo il membro centrale e il limite diventerebbe: $ Lim [ z/(z-1)^2 \cdot ((z-1)/((z-1)+Cp))) \cdot (z-1)/z] $
quindi facendo tendere ora $ z->1$ avrò il limite, dopo dovute semplificazioni dei $(z-1)$: $ Lim [ 1/((z-1)+Cp)] => 1/(Cp) $
Sbagliato qualcosa?
Hai perfettamente ragione: ho fatto tendere $z$ a $0$ invece che a $1$ ( anche se avevo scritto bene il limite ).
ok mi trovo e correggo il post precedente
ok mi trovo e correggo il post precedente
ok, a questo punto quindi sviluppo il $ abs(L)<3/4 $ e trovo che:
$ Cp<-4/3 $ e $Cp > 4/3$
giusto?
per la seconda parte come possiamo procedere?
$ Cp<-4/3 $ e $Cp > 4/3$
giusto?
per la seconda parte come possiamo procedere?
E dai per la seconda parte fai uno sforzo tu ( un tentativo sensato e non buttato a caso )
Ok mi impegnerò a non scrivere eresie per quanto riguarda la seconda parte. Fino a qui ti ringrazio molto perche per adesso sono riuscito a mettere in fila alcune cose, comunque ti comunico che la mia risposta arriverà probabilmente questa sera se riesco dopo cena e che purtroppo per domani non potrò collegarmi per problemi organizzativi. Quindi non pensare che abbia gettato la spugna!! 
Sarò presente comunque da Domenica e appena riuscirò mi collegherò anche domani pomeriggio, tardo.A meno che non si è riusciti a risolverlo prima questo maledetto esercizio!!
Per ora buona serata e grazie ancora!
Buona sera a tutti!!
Allora riprendiamo in mano questo esercizio.
Io da questa mattina ho provato a cercare una soluzione per quanto riguarda l'errore transitorio che ad ogni passo và riducendosi del $60%$; ho trovato qualche relazione ma ancora non ho ben chiaro il ragionamento:
$ e(k)=tilde(e)(k)+bar(e) $
con $tilde(e)(k)$ inteso come errore Transitorio(avrei messo la "t" come pedice ma non sono capace ) e con $bar(e)$ errore su lungo periodo, in funzione al target.
La sua trasformata risulta essere:
$ E(z)=tilde(E)(z) + bar(e)\cdot(z/(z-1)^2) $
$osservo:$ ho moltiplicato l'errore per $(z/(z-1)^2) $ dato il nostro target a rampa.
Perciò per ottenere il nostro errore transitorio dovremmo esplicitare la $tilde(E)(z)$:
$ tilde(E)(z)=E(z) - bar(e)\cdot (z/(z-1)^2) $
Considerando il fatto che $E(z)= 1/(1+F(z))\cdot z/(z-1)^2$ ottengo:
$tilde(E)(z)= [1/(1+F(z))-bar(e)] z/(z-1)^2$
Ora però qui mi sono bloccato,
ma comunque ho ragionato in questo modo:
in quanto $bar(e)$ rappresenta l'errore sul lungo periodo, e quindi credo che sia proprio il risultato del limite calcolato precedentemente, però non riesco ad uscirne. Quello che mi aspetto alla fine, credo che sia un ulteriore intervallo che fatto intersecare con il primo trovato con il lungo periodo mi dia la soluzione all'esercizio.
Ovvero un $Cp$ che faccia verificare queste condizioni.
ps: molto probabilmente sto proprio fuori rotta!
Allora riprendiamo in mano questo esercizio.
Io da questa mattina ho provato a cercare una soluzione per quanto riguarda l'errore transitorio che ad ogni passo và riducendosi del $60%$; ho trovato qualche relazione ma ancora non ho ben chiaro il ragionamento:
$ e(k)=tilde(e)(k)+bar(e) $
con $tilde(e)(k)$ inteso come errore Transitorio(avrei messo la "t" come pedice ma non sono capace
) e con $bar(e)$ errore su lungo periodo, in funzione al target.La sua trasformata risulta essere:
$ E(z)=tilde(E)(z) + bar(e)\cdot(z/(z-1)^2) $
$osservo:$ ho moltiplicato l'errore per $(z/(z-1)^2) $ dato il nostro target a rampa.
Perciò per ottenere il nostro errore transitorio dovremmo esplicitare la $tilde(E)(z)$:
$ tilde(E)(z)=E(z) - bar(e)\cdot (z/(z-1)^2) $
Considerando il fatto che $E(z)= 1/(1+F(z))\cdot z/(z-1)^2$ ottengo:
$tilde(E)(z)= [1/(1+F(z))-bar(e)] z/(z-1)^2$
Ora però qui mi sono bloccato,
ma comunque ho ragionato in questo modo:
in quanto $bar(e)$ rappresenta l'errore sul lungo periodo, e quindi credo che sia proprio il risultato del limite calcolato precedentemente, però non riesco ad uscirne. Quello che mi aspetto alla fine, credo che sia un ulteriore intervallo che fatto intersecare con il primo trovato con il lungo periodo mi dia la soluzione all'esercizio.
Ovvero un $Cp$ che faccia verificare queste condizioni.
ps: molto probabilmente sto proprio fuori rotta!
Ragazzi c'è nessuno per completare l'esercizio?? immagino che sia domenica e che quindi Mare e sole!
Buongiorno a Tutti, un aiuto per risolvere la seconda parte del punto $a$ in cui si richiede di trovare il $Cp$ che inoltre a far assicurare un errore sul lungo periodo in modulo minore di $3/4$, fa anche in modo che l'errore transitorio tenda a $0$ riducendosi ad ogni passo del $60%$. vi ricondivido la traccia del punto:
$a)$ Esiste un Controllore proporzionale che assicura un errore sul lungo periodo in modulo minore di $3/4$ ed un errore transitorio che tende a $0$ riducendosi in modulo, ad ogni passo , almeno del $60%$ ?se si, determinare il valore.
$a)$ Esiste un Controllore proporzionale che assicura un errore sul lungo periodo in modulo minore di $3/4$ ed un errore transitorio che tende a $0$ riducendosi in modulo, ad ogni passo , almeno del $60%$ ?se si, determinare il valore.
Salve a tutti, l'esame ormai l'ho dato ed è andato bene! però non vorrei rimanere con questo dubio!! Mi aiutereste a non lasciarlo incompleto?! please!
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