[Controlli Automatici] Calcolo risposta all'ingresso sen(2πt)1(-t) + 1(t)
Salve a tutti, ho un po' di dubbi sul come trattare alcuni tipi di esercizi riguardanti il calcolo della risposta forzata di un sistema, sono ancora alle prime armi e mi sono imbattuto in questo tipo di esercizio.
Io ho questa funzione di trasferimento:
e devo calcolare la risposta all'ingresso
Purtroppo non so proprio come approcciarmi a questo problema. Sono riuscito a fare altri problemi della stessa tipologia ma con segnali d'ingresso più semplici ma questo non so proprio da dove iniziare. Ho presente che il segnale d'ingresso è $ sen(2π) $ da $ -oo $ a $ 0 $ e da qui in poi vale $ 1 $ e cioè lo scalino.
Spero che qualcuno possa aiutarmi e ringrazio chi mi risponderà.
Io ho questa funzione di trasferimento:
$ G(S) = 2/(s^2 + 2s +2) $
e devo calcolare la risposta all'ingresso
$ u(t) = sen(2πt)1(-t) + 1(t) $
Purtroppo non so proprio come approcciarmi a questo problema. Sono riuscito a fare altri problemi della stessa tipologia ma con segnali d'ingresso più semplici ma questo non so proprio da dove iniziare. Ho presente che il segnale d'ingresso è $ sen(2π) $ da $ -oo $ a $ 0 $ e da qui in poi vale $ 1 $ e cioè lo scalino.
Spero che qualcuno possa aiutarmi e ringrazio chi mi risponderà.
Risposte
"Wyve":
... Ho presente che il segnale d'ingresso è $ sen(2π) $ da $ -oo $ a $ 0 $ e da qui in poi vale $ 1 $ e cioè lo scalino.
Se quello è il segnale di ingresso, non vedo quale sia il tuo problema.
"RenzoDF":
[quote="Wyve"]... Ho presente che il segnale d'ingresso è $ sen(2π) $ da $ -oo $ a $ 0 $ e da qui in poi vale $ 1 $ e cioè lo scalino.
Se quello è il segnale di ingresso, non vedo quale sia il tuo problema.
[/quote]Ciao, provo a spiegarmi meglio.
Il mio problema è che non so come comportarmi dinanzi a segnali del genere e in particolare quando c'è quell' $ 1(-t) $. Io banalmente calcolerei la trasformata di Laplace di tale segnale e procederei come al solito. Infatti sapendo che $ Y(S) = G(S)U(S) $ moltiplicherei il risultato di questa trasformata a $ G(S) $ e dopodiché farei l'antitrasformata. Tuttavia non credo che questa sia la via corretta. Infatti penso che sarebbe necessario fare più considerazioni anche perché il risultato di questo esercizio è
$ y(t) = { ( ((1−2π^2 )sen(2πt)−2πcos(2πt))/(1+4π^2) )
,( -(2e^(−t)π(2π^2sin(t)+cos(t)))/(4π^4 + 1)-e^(−t) sin(t)−e^(−t) cos(t)+1 ):} $
,( -(2e^(−t)π(2π^2sin(t)+cos(t)))/(4π^4 + 1)-e^(−t) sin(t)−e^(−t) cos(t)+1 ):} $
La prima se $ t < 0 $ ;
la seconda se $ t ≥ 0 $.
Dunque: come faccio a calcolare questi due risultati? In particolare come faccio a distinguere i due casi? E qual è il metodo giusto di procedere?
Premesso che la mia era una battuta sul tuo errore di battitura, 
per risolvere quel problema (ad esempio) rimanendo nel dominio del tempo, trasformerei quella funzione di trasferimento nella corrispondente equazione differenziale del secondo ordine, per poi andare a risolverla prima per t<0 poi per t>0.
Per t<0, con ingresso sinusoidale, andrei a ricercare la soluzione y(t) nella classica forma $A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t)$, ricavando facilmente i due coefficienti A e B; soluzione che poi mi permetterebbe di ottenere le condizioni iniziali $y(0)$ e $\dot y(0)$ per risolvere l'eq. diff. anche per t>0, con ingresso costante.
Poi, chiaramente, volendo passare nel dominio della frequenza, la soluzione potrebbe essere ottenuta anche via trasformata di Laplace bilatera, ... ROC permettendo.
$sin(2\pi)$
per risolvere quel problema (ad esempio) rimanendo nel dominio del tempo, trasformerei quella funzione di trasferimento nella corrispondente equazione differenziale del secondo ordine, per poi andare a risolverla prima per t<0 poi per t>0.
Per t<0, con ingresso sinusoidale, andrei a ricercare la soluzione y(t) nella classica forma $A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t)$, ricavando facilmente i due coefficienti A e B; soluzione che poi mi permetterebbe di ottenere le condizioni iniziali $y(0)$ e $\dot y(0)$ per risolvere l'eq. diff. anche per t>0, con ingresso costante.
Poi, chiaramente, volendo passare nel dominio della frequenza, la soluzione potrebbe essere ottenuta anche via trasformata di Laplace bilatera, ... ROC permettendo.
In subordine a quanto ti è appena stato consigliato potresti anche procedere applicando la trasformata di Fourier (che corrisponde alla applicazione della trasformata di Laplace bilatera con σ=0) al segnale di ingresso, ottenere l’uscita per prodotto con la fdt ($Y(ω)=X(ω)*G(ω)$) e antitrasformare.
Ancora potresti considerare che il segnale di ingresso può essere riscritto come: $x(t)= sen(2πt)-sen(2πt)*u(t)+u(t)$. La risposta al primo contributo puoi calcolarla con Fourier, oppure con il calcolo fasoriale; le risposte agli altri due segnali direttamente con la trasformata unilatera di Laplace.
Ancora potresti considerare che il segnale di ingresso può essere riscritto come: $x(t)= sen(2πt)-sen(2πt)*u(t)+u(t)$. La risposta al primo contributo puoi calcolarla con Fourier, oppure con il calcolo fasoriale; le risposte agli altri due segnali direttamente con la trasformata unilatera di Laplace.
Per t < 0
$y(t)=A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t)$
... per t > 0
$y(t)=C e^-t\sin(t)+De^-t \cos(t)+1$
di conseguenza, continuando con wxMaxima
$y(t)=A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t)$
... per t > 0
$y(t)=C e^-t\sin(t)+De^-t \cos(t)+1$
di conseguenza, continuando con wxMaxima
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