[Controlli Automatici] Calcolo margine di guadagno
Ciao a tutti, non riesco a calcolare il margine di guadagno della seguente funzione di anello:
$L(s)=\frac{1000}{s^2+10s+100}$
Ho calcolato $w_\pi=0$ e quindi $K_m=0.1$, il risultato è sbagliato poichè dovrebbe essere infinito.
Ho diviso parte reale e immaginaria della funzione:
$L(jw)=\frac{1000(-w^2+100)}{w^4-100w^2+10000} - j\frac{10000w}{w^4-100w^2+10000}$
$L(s)=\frac{1000}{s^2+10s+100}$
Ho calcolato $w_\pi=0$ e quindi $K_m=0.1$, il risultato è sbagliato poichè dovrebbe essere infinito.
Ho diviso parte reale e immaginaria della funzione:
$L(jw)=\frac{1000(-w^2+100)}{w^4-100w^2+10000} - j\frac{10000w}{w^4-100w^2+10000}$
Risposte
E' sufficiente studiare la fase del termine trinomio al denominatore e vedere che essa non raggiunge mai la fase di $-180°$
Io ho imposto semplicemente $Im{L(jw)}=0$ e $w_\pi=0$
Mi dici tu come hai risolto e perchè il metodo sopra non è corretto?
Mi dici tu come hai risolto e perchè il metodo sopra non è corretto?
Semplicemente:
$ L(jomega) = 1000/(100-omega^2+j10omega) rArr phi_(L(jomega)) = phi_1000-phi_(100-omega^2+j10omega) = -phi_(100-omega^2+j10omega) rArr phi_(100-omega^2+j10omega) = tg^(-1)((10omega)/(100-omega^2))={ ( 0 rArr omega rarr 0(rad)/s ),( pi/2 rArr omega = 10 (rad)/s ),( pi rArr omega rarr oo (rad)/s ):} $
Di conseguenza:
$phi_(L(jomega)) = { ( 0 rArr omega rarr 0(rad)/s ),( -pi/2 rArr omega = 10 (rad)/s ),( -pi rArr omega rarr oo (rad)/s ):}$
e, quindi, il margine di fase vale infinito
$ L(jomega) = 1000/(100-omega^2+j10omega) rArr phi_(L(jomega)) = phi_1000-phi_(100-omega^2+j10omega) = -phi_(100-omega^2+j10omega) rArr phi_(100-omega^2+j10omega) = tg^(-1)((10omega)/(100-omega^2))={ ( 0 rArr omega rarr 0(rad)/s ),( pi/2 rArr omega = 10 (rad)/s ),( pi rArr omega rarr oo (rad)/s ):} $
Di conseguenza:
$phi_(L(jomega)) = { ( 0 rArr omega rarr 0(rad)/s ),( -pi/2 rArr omega = 10 (rad)/s ),( -pi rArr omega rarr oo (rad)/s ):}$
e, quindi, il margine di fase vale infinito
EDIT: scusa ma che metti $w=0$ o $w=\infty$ non viene sempre $arctg(0)$??
Si, ma cambia il risultato; infatti:
$ 1) omega \rightarrow 0 (rad)/s rArr phi = lim_(omega -> 0)tg^(-1)((10omega)/(100-omega^2)) = tg^(-1)(0/100)=0° $
$ 2) omega \rightarrow +oo (rad)/s rArr phi = lim_(omega -> +oo)tg^(-1)((10omega)/(100-omega^2)) = lim_(omega -> +oo)tg^(-1)((10omega)/(-omega^2)) = lim_(omega -> +oo)tg^(-1)(10/-omega) = 0+pi = pi$
dove il $+pi$ nasce dal fatto che stai calcolando l'arcotangente di un numero complesso avente parte reale negativa.
$ 1) omega \rightarrow 0 (rad)/s rArr phi = lim_(omega -> 0)tg^(-1)((10omega)/(100-omega^2)) = tg^(-1)(0/100)=0° $
$ 2) omega \rightarrow +oo (rad)/s rArr phi = lim_(omega -> +oo)tg^(-1)((10omega)/(100-omega^2)) = lim_(omega -> +oo)tg^(-1)((10omega)/(-omega^2)) = lim_(omega -> +oo)tg^(-1)(10/-omega) = 0+pi = pi$
dove il $+pi$ nasce dal fatto che stai calcolando l'arcotangente di un numero complesso avente parte reale negativa.
Al terzo passaggio della 2) stai ipotizzando che $-w^2 > 100$ e quindi hai dedotto che la parte reale è negativa giusto?
Si: ho trascurato $100$ rispetto a $-omega^2$
Grazie mille.
Stavo cercando di calcolare il margine di guadagno di questa funzione di anello: $L(jw)=\frac{2}{1+jw}$
$arg{L(jw)}=-arctg(w)$
La $w_\pi$ dovrebbe essere 0 ma il MG = $-\infty$, perchè?
$arg{L(jw)}=-arctg(w)$
La $w_\pi$ dovrebbe essere 0 ma il MG = $-\infty$, perchè?
Se rifai tutti i calcoli ( come li ho fatti io nel post sopra ) vedi che risulta che il margine di guadagno vale $+oo$
Come fa a risultare $-arctg(w)=\pi$? Il MG vale $-\infty$ (verificato con Matlab)
"djanthony93":
Come fa a risultare $-arctg(w)=\pi$? Il MG vale $-\infty$ (verificato con Matlab)
Non ho mai detto che l'arcotangente vale $pi$
Infatti non ho voluto dire questo ma semplicemente applicare la definizione di $w_\pi$ visto che $arg{L(jw)}=-arctg(w)$
Esatto...ora riapplica il metodo come l'ho fatto io nell'altro post
Ok, ma in questo caso sono nel primo quadrante, non ho valori di w che mi danno $-arctg(w)=\pi$
Ma perché ti sei fissato con questo $pi$?!?!
Fai tutti i calcoli!
Fai tutti i calcoli!
$-arctg(w)=0$,$ w=0$
$-arctg(w)=\frac{\pi}{2}$,$ w=+\infty$
$-arctg(w)=-\frac{\pi}{2}$,$ w=-\infty$
$-arctg(w)=\frac{\pi}{2}$,$ w=+\infty$
$-arctg(w)=-\frac{\pi}{2}$,$ w=-\infty$
Non hai capito praticamente nulla.
In formule:
$ phi = -tg^(-1)(omega/1) = { ( 0 rArr omega rarr 0(rad)/s ),( -pi/4 rArr omega = 1(rad)/s),( -pi/2 rArr omega rarr +oo(rad)/s ):} $
e, quindi, il margine di fase vale $+oo$.
In allegato i risultati ottenuto con Matlab
In formule:
$ phi = -tg^(-1)(omega/1) = { ( 0 rArr omega rarr 0(rad)/s ),( -pi/4 rArr omega = 1(rad)/s),( -pi/2 rArr omega rarr +oo(rad)/s ):} $
e, quindi, il margine di fase vale $+oo$.
In allegato i risultati ottenuto con Matlab
"D4lF4zZI0":
Non hai capito praticamente nulla.
In formule:
$ phi = -tg^(-1)(omega/1) = { ( 0 rArr omega rarr 0(rad)/s ),( -pi/4 rArr omega = 1(rad)/s),( -pi/2 rArr omega rarr +oo(rad)/s ):} $
e, quindi, il margine di fase vale $+oo$.
In allegato i risultati ottenuto con Matlab
Ho editato il post sopra, allora tu assumi che $w_\pi=+\infty$ ma in realtà l'argomento di L non arriverà mai a 180 gradi... o no?
Ho cancellato il mio ultimo post perché avevo scritto una imprecisione.
Dunque, se la fase non raggiunge mai $-pi$, allora il margine di guadagno vale $+oo$
Dunque, se la fase non raggiunge mai $-pi$, allora il margine di guadagno vale $+oo$
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