[Controlli automatici] Ampiezza massima in uscita

[Structure]

Salve a tutti. Ho un esercizio che mi sta facendo uscire di testa.

Ho una funzione di trasferimento che mi descrive il comportamento di un sistema e un input che è il prodotto di una funzione sinusoidale e un gradino (step function). Devo calcolare l'ampiezza massima dell'output ("the maximum amplitude of the steady state response").

Qualcuno ha idea di come si possa fare?

[K.Lomax]

Ti ricordo che le funzioni sinusoidali sono autofunzioni per i sistema lineari tempo invarianti, ovvero se hai un sinusoide in ingresso ad un sistema LTI, l'uscita sarà ancora una sinusoide ma con ampiezza e fase legati alla risposta in frequenza del sistema. Ovvero se il segnale di ingresso è

$x(t)=Asin(\omegat)$

e supposta una risposta in frequenza $H(f)$, l'uscita sarà

$y(t)=A|H(f)|sin(\omegat+arg{H(f)})$

Se quindi avessi la semplice sinusoide, senza il gradino, il modulo massimo sarebbe $|H(f)|_(max)$. Questa relazione vale anche per la trasformata di Laplace che, però, vale solo per $t>0$. Quindi nel tuo caso si avrebbe $|H(s)|_(max)$. Adesso immagino che tu abbia a disposizione la sola $H(f)$ quindi per poterla utilizzare dovresti prima essere sicuro che essa coincide con quella di Laplace. Infatti, si dimostra che la trasformata di Fourier coincide con quella di Laplace purchè il segnale di ingresso sia causale e assolutamente integrabile. Nel tuo caso il gradino rende la sinusoide di ingresso causale e quindi puoi dire che il modulo massimo è effettivamente $|H(f)|_(max)$.

[Camillo]

Perchè si perde il valore dell'ampiezza della sinusoide, cioè $A$ ? L'uscita max non dovrebbe avere ampiezza
$A |H(f)|_(max)$ ?

[K.Lomax]

@Camillo

E' così, ma nel suo caso ho dedotto che l'ampiezza della sinusoide fosse unitaria. La mia precedente digressione era solo una definizione generale. Comunque è evidente che se l'ampiezza fosse diversa da $1$ si deve tener conto anche di quella .