[Controlli Automatici]
Buonasera a tutti,
scrivo su questo forum perché mi sembra il più adatto per questo genere di problemi ed anche il più attivo.
Quello che sto cercando è una mano per capire lo svolgimento degli esercizi riguardanti la risposta in regime permanente di una data funzione di trasferimento.
Ad esempio:
Si calcoli la risposta a regime permanente per il sistema con funzione di trasferimento $ F(s) = 1/(s+10) $ ai seguenti ingressi:
a) $ u(t) = 3delta_-1(t) $
b) $ u(t) = (t+2)delta_-1(t) $
c) $ u(t) = (t+1)delta_-1(t1) $
d) $ u(t) = sentdelta_-1(t) $
e) $ u(t) = sentdelta_-1(t-1) $ .
Quello che cerco, se è possibile ovviamente, è semplicemente un instradamento, delle linee guida, oppure dei link a materiale che potrebbe illustrarmi come/cosa fare...insomma qualsiasi cosa pur di riuscire a capire come cavolo svolgere questa tipologia di esercizi... perché se non capisco questi non posso fare i successivi ecc ecc.
Spero di non aver violato alcuna linea guida nello stilare questa "richiesta d'aiuto" e vi auguro un buon proseguimento di serata, oltre ad un grazie in anticipo!
scrivo su questo forum perché mi sembra il più adatto per questo genere di problemi ed anche il più attivo.
Quello che sto cercando è una mano per capire lo svolgimento degli esercizi riguardanti la risposta in regime permanente di una data funzione di trasferimento.
Ad esempio:
Si calcoli la risposta a regime permanente per il sistema con funzione di trasferimento $ F(s) = 1/(s+10) $ ai seguenti ingressi:
a) $ u(t) = 3delta_-1(t) $
b) $ u(t) = (t+2)delta_-1(t) $
c) $ u(t) = (t+1)delta_-1(t1) $
d) $ u(t) = sentdelta_-1(t) $
e) $ u(t) = sentdelta_-1(t-1) $ .
Quello che cerco, se è possibile ovviamente, è semplicemente un instradamento, delle linee guida, oppure dei link a materiale che potrebbe illustrarmi come/cosa fare...insomma qualsiasi cosa pur di riuscire a capire come cavolo svolgere questa tipologia di esercizi... perché se non capisco questi non posso fare i successivi ecc ecc.
Spero di non aver violato alcuna linea guida nello stilare questa "richiesta d'aiuto" e vi auguro un buon proseguimento di serata, oltre ad un grazie in anticipo!
Risposte
Il teorema del valore finale l'hai mai visto ?
Basta quello.
Basta quello.
Anche se con molto ritardo penso che convenga dare risposta a questo post completando il suggerimento di Quinzio. Nel seguito farò riferimento all'equazione associata alla funzione di trasferimento ovvero indicando con y(t) l'uscita del sistema:
(1) $dy/dt+10*y = u(t)$
a) Si tratta di un ingresso costante applicato ad un sistema asintoticamente stabile, per cui l'uscita a regime sarà una costante. Per trovarla usiamo il Teorema del Valore Finale facendo il limite per s tendente a zero di sY(s). Risulta:
$ s*Y(s) = s* 1/(s+10)*3/s Rightarrow y=3/10$
E' immediato verificare che y(t)=3/10 soddisfa l'equazione (1) qualora u(t) = 3 e quindi rappresenta la soluzione particolare ovvero di regime essendo il sistema asintoticamente stabile.
b) La risposta di regime ad una rampa $u(t)=t$ sarà anch'essa una rampa del tipo $a*t+b$. Per trovare $a$ osserviamo che tale coefficiente corrisponde alla soluzione costante di regime della derivata di y(t) e quindi potremo trovarlo con il Teorema del Valore Finale facendo il limite per s tendente a zero di $s^2*Y(s)$. Risulta:
$ s^2*Y(s) = s^2* 1/(s+10)*1/s^2 Rightarrow a=1/10$
Per trovare il coefficiente $b$ questo sarà dato dal residuo costante a regime di $y(t) -a*t$ e quindi potremo trovarlo con il Teorema del Valore Finale facendo il limite per s tendente a zero di $s*(Y(s)-a/s^2)$. Risulta:
$ s*(Y(s)-a/s^2)= s*(1/s^2*1/(s+10)-1/s^2)= s*(1/s^2*1/(s+10)-1/10*1/s^2) Rightarrow b=-1/100$.
Poiché per il punto precedente la risposta a regime per un gradino unitario era 1/10, si conclude che la risposta a regime per u(t) = t+2 è y(t) = t/10 + 19/100. Anche in questo caso per controprova basta sostituire nell'equazione differenziale (1).
c) Dai punti precedenti si ha subito y(t) = t/10 + 9/100.
d) In questo caso la risposta a regime sarà una sinusoide. Converrà usare il metodo simbolico $s=j*omega$ e poiché
$u(t)=sin(t) = Im(e^(j*t))$
$y(t) = Im(Y(j)*e^(j*t))= Im(e^(j*t)/(10+j))=(10*sin(t)-cos(t))/101$
Anche in questo caso è facile verificare che y(t) =10 sin(t)/101 - cos(t)/101 è soluzione per sostituzione nella (1).
(e) Chiaramente il fatto che la sinusoide di ingresso perda il pezzo per t<1 non ha influenza sul regime. Pertanto vale la soluzione trovata in d).
(1) $dy/dt+10*y = u(t)$
a) Si tratta di un ingresso costante applicato ad un sistema asintoticamente stabile, per cui l'uscita a regime sarà una costante. Per trovarla usiamo il Teorema del Valore Finale facendo il limite per s tendente a zero di sY(s). Risulta:
$ s*Y(s) = s* 1/(s+10)*3/s Rightarrow y=3/10$
E' immediato verificare che y(t)=3/10 soddisfa l'equazione (1) qualora u(t) = 3 e quindi rappresenta la soluzione particolare ovvero di regime essendo il sistema asintoticamente stabile.
b) La risposta di regime ad una rampa $u(t)=t$ sarà anch'essa una rampa del tipo $a*t+b$. Per trovare $a$ osserviamo che tale coefficiente corrisponde alla soluzione costante di regime della derivata di y(t) e quindi potremo trovarlo con il Teorema del Valore Finale facendo il limite per s tendente a zero di $s^2*Y(s)$. Risulta:
$ s^2*Y(s) = s^2* 1/(s+10)*1/s^2 Rightarrow a=1/10$
Per trovare il coefficiente $b$ questo sarà dato dal residuo costante a regime di $y(t) -a*t$ e quindi potremo trovarlo con il Teorema del Valore Finale facendo il limite per s tendente a zero di $s*(Y(s)-a/s^2)$. Risulta:
$ s*(Y(s)-a/s^2)= s*(1/s^2*1/(s+10)-1/s^2)= s*(1/s^2*1/(s+10)-1/10*1/s^2) Rightarrow b=-1/100$.
Poiché per il punto precedente la risposta a regime per un gradino unitario era 1/10, si conclude che la risposta a regime per u(t) = t+2 è y(t) = t/10 + 19/100. Anche in questo caso per controprova basta sostituire nell'equazione differenziale (1).
c) Dai punti precedenti si ha subito y(t) = t/10 + 9/100.
d) In questo caso la risposta a regime sarà una sinusoide. Converrà usare il metodo simbolico $s=j*omega$ e poiché
$u(t)=sin(t) = Im(e^(j*t))$
$y(t) = Im(Y(j)*e^(j*t))= Im(e^(j*t)/(10+j))=(10*sin(t)-cos(t))/101$
Anche in questo caso è facile verificare che y(t) =10 sin(t)/101 - cos(t)/101 è soluzione per sostituzione nella (1).
(e) Chiaramente il fatto che la sinusoide di ingresso perda il pezzo per t<1 non ha influenza sul regime. Pertanto vale la soluzione trovata in d).
"ingres":
Anche se con molto ritardo penso che convenga dare risposta a questo post completando il suggerimento di Quinzio. Nel seguito farò riferimento all'equazione associata alla funzione di trasferimento ovvero indicando con y(t) l'uscita del sistema:
(1) $dy/dt+10*y = u(t)$
a) Si tratta di un ingresso costante applicato ad un sistema asintoticamente stabile, per cui l'uscita a regime sarà una costante. Per trovarla usiamo il Teorema del Valore Finale facendo il limite per s tendente a zero di sY(s). Risulta:
$ s*Y(s) = s* 1/(s+10)*3/s Rightarrow y=3/10$
E' immediato verificare che y(t)=3/10 soddisfa l'equazione (1) qualora u(t) = 3 e quindi rappresenta la soluzione particolare ovvero di regime essendo il sistema asintoticamente stabile.
Credo che ad es. nel caso a)
$u(t) = 3 \delta_{-1}(t)$
la $u(t)$ stia ad indicare l'ingresso generico e non la funzione a gradino di Heaviside. L'ingresso "vero" e' $3 \delta_{-1}(t)$ con la delta di Dirac.
La scrittura $delta_(-1)$ non è molto usuale (anche se mi sembra di averla vista in qualche post precedente), e per il gradino è più tipico usare u(t) oppure 1(t) quando c'è ambiguità con l'ingresso generico u(t).
Tuttavia visto che l'usuale scrittura per il delta di Dirac è solo $delta$, che la scrittura è ripetuta per tutti i segnali e che per giunta l'interpretazione di in termini di impulso di Dirac rende l'esercizio banale in quanto in tutti i casi la risposta a regime è nulla, sono stato più propenso a interpretarla come gradino.
Tuttavia visto che l'usuale scrittura per il delta di Dirac è solo $delta$, che la scrittura è ripetuta per tutti i segnali e che per giunta l'interpretazione di in termini di impulso di Dirac rende l'esercizio banale in quanto in tutti i casi la risposta a regime è nulla, sono stato più propenso a interpretarla come gradino.
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