Caratteristiche filtro con trasformata di Laplace
Buongiorno, sono nuovamente bloccato su un esercizio.
Si vuole progettare il filtro F(s), posto tra U e Y. Le richieste sono:
1. posto u(t)=sca(t), si dica che condizioni deve soddisfare F(s) affinché a regime si abbia \(\displaystyle y(\infty)=0 \)
2. posto u(t)=sca(t), si dica quale condizione deve soddisfare affinché y(0)=1
3. si dica quale condizione deve soddisfare F(s) affinché la costante di tempo dominante nella risposta allo scalino sia 1
Sono davvero senza idee su come si possa risolvere: se volete apprezzerei anche qualche suggerimento di come approcciare a richieste di questo tipo, senza magari dover scrivere tutti i procedimenti.
Grazie mille!
Si vuole progettare il filtro F(s), posto tra U e Y. Le richieste sono:
1. posto u(t)=sca(t), si dica che condizioni deve soddisfare F(s) affinché a regime si abbia \(\displaystyle y(\infty)=0 \)
2. posto u(t)=sca(t), si dica quale condizione deve soddisfare affinché y(0)=1
3. si dica quale condizione deve soddisfare F(s) affinché la costante di tempo dominante nella risposta allo scalino sia 1
Sono davvero senza idee su come si possa risolvere: se volete apprezzerei anche qualche suggerimento di come approcciare a richieste di questo tipo, senza magari dover scrivere tutti i procedimenti.
Grazie mille!
Risposte
Per avere a regime valore nullo per un ingresso costante bisogna che il sistema sia derivativo ovvero che FdT abbia una una "s" a numeratore. Alla stessa considerazione si arriva anche usando il T. del valore finale.
Inoltre per il T del valore iniziale dovrà esserci anche una "s" al denominatore, ovvero la F(s) sarà del tipo:
$F(s) = s/(s+a)$
e dall'ultima condizione si desume a=1. Quindi:
$F(s)=s/(s+1)$
Risposta al gradino:
$y(t) = e^(-t) u(t)$
Inoltre per il T del valore iniziale dovrà esserci anche una "s" al denominatore, ovvero la F(s) sarà del tipo:
$F(s) = s/(s+a)$
e dall'ultima condizione si desume a=1. Quindi:
$F(s)=s/(s+1)$
Risposta al gradino:
$y(t) = e^(-t) u(t)$
Grazie!
C’entra qualcosa con il primo requisito il fatto che debba tagliare il diagramma di Bode del modulo a zero con pendenza -1?
Inoltre, cosa sarebbe cambiato se il secondo requisito fosse stato con y(0)=2? (O comunque un altro numero diverso da 1)
C’entra qualcosa con il primo requisito il fatto che debba tagliare il diagramma di Bode del modulo a zero con pendenza -1?
Inoltre, cosa sarebbe cambiato se il secondo requisito fosse stato con y(0)=2? (O comunque un altro numero diverso da 1)
"nicetry":
primo requisito il fatto che debba tagliare il diagramma di Bode del modulo a zero con pendenza -1
Direi di No. Il primo requisito è un comportamento a regime che puoi ottenere anche con tagli teoricamente a pendenze anche maggiori.
"nicetry":
cosa sarebbe cambiato se il secondo requisito fosse stato con y(0)=2? (O comunque un altro numero diverso da 1)
Semplicemente il guadagno sarebbe stato 2 e quindi
$F(s) = 2*s/(s+1)$
Allora mi confermi che il taglio a pendenza -1 è indice di stabilità?
Questo è un filtro diretto (Y(S) = F(s) U(s)) e non un sistema retroazionato.
Per un sistema di questo tipo la stabilità richiede solo che i poli siano a parte reale negativa o nulla di molteplicità 1.
Il criterio di Bode invece si applica alla funzione di trasferimento in anello aperto del sistema retroazionato e vale solo sotto certe condizioni ben precise (ad es. un solo attraversamento dell'asse reale, assenza di poli a parte reale positiva)
Inoltre l'attraversamento a pendenza -1 è una regola grossolana. Il criterio in realtà afferma che il sistema è stabile se lo sfasamento calcolato in corrispondenza della pulsazione di taglio è inferiore a 180°; è instabile se superiore a 180°.
https://www.edutecnica.it/sistemi/stab/ ... 0180%C2%B0.
Per un sistema di questo tipo la stabilità richiede solo che i poli siano a parte reale negativa o nulla di molteplicità 1.
Il criterio di Bode invece si applica alla funzione di trasferimento in anello aperto del sistema retroazionato e vale solo sotto certe condizioni ben precise (ad es. un solo attraversamento dell'asse reale, assenza di poli a parte reale positiva)
Inoltre l'attraversamento a pendenza -1 è una regola grossolana. Il criterio in realtà afferma che il sistema è stabile se lo sfasamento calcolato in corrispondenza della pulsazione di taglio è inferiore a 180°; è instabile se superiore a 180°.
https://www.edutecnica.it/sistemi/stab/ ... 0180%C2%B0.
È vero, mi ero scordato. Ti ringrazio ancora!
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