Calcolo pulsazione critica
Ciao a tutti, come si calcola la pulsazione critica di una funzione di trasferimento?
So già che la pulsazione critica è la pulsazione alla quale il guadagno è 0 db quindi il modulo della fdt deve essere uguale ad uno. Nella pratica eseguendo i calcoli vengono sempre dei moduli con pulsazioni alla quarta, alla quinta, alla sesta... ecco chiedo proprio come si fa passaggio per passaggio grazie.
ad esempio la funzione $ F(s)=20/( (1+10s)(1+2s)(1+0.2s)) $
So già che la pulsazione critica è la pulsazione alla quale il guadagno è 0 db quindi il modulo della fdt deve essere uguale ad uno. Nella pratica eseguendo i calcoli vengono sempre dei moduli con pulsazioni alla quarta, alla quinta, alla sesta... ecco chiedo proprio come si fa passaggio per passaggio grazie.
ad esempio la funzione $ F(s)=20/( (1+10s)(1+2s)(1+0.2s)) $
Risposte
Eh si hai ragione non è possibile farlo analiticamente, ma solo in maniera numerica. Io però tenterei di ragionarci su. Prendiamo ad esempio la funzione da te considerata. Questa ha pulsazioni $\omega_1=0.1$, $\omega_2=0.5$, $\omega_3=5$. Inoltre, $F(0)=20$ e il primo polo ad agire (se pensi al diagramma di Bode) è a pulsazione $\omega_1=0.1$. Dunque, per $\omega>\omega_1$, il modulo decresce con -20dB/decade. Quindi, se agisse solo lui o se gli altri si trovassero a più di una decade, potresti considerare solo questa funzione di trasferimento
$F(s)=20/(1+10s)$ (1)
e dire direttamente che la pulsazione di attraversamento è $\omega_c=1$ (mi trovo a 20db e scendo per 20db/decade quindi una decade dopo sto a zero). Purtroppo la frequenza successiva ($\omega_2$) si trova a meno di una decade da $\omega_1$ e quindi dovresti considerare anche questa ottenendo la seguente funzione
$F(s)=20/((1+10s)(1+2s))$
Il terzo polo è senz'altro trascurabile perchè lontano. Questa funzione comunque non è semplice. Quindi puoi determinare una stima della frequenza di attraversamento indicativa utilizzando la (1), quindi partendo da $\omega_c=1$, e poi, sapendo che il secondo polo può averla solo fatta diminuire, procederei a tentativi, diminuendola gradualmente. Avendo questa stima di partenza dopo pochi tentativi dovresti avere una migliore approssimazione.
$F(s)=20/(1+10s)$ (1)
e dire direttamente che la pulsazione di attraversamento è $\omega_c=1$ (mi trovo a 20db e scendo per 20db/decade quindi una decade dopo sto a zero). Purtroppo la frequenza successiva ($\omega_2$) si trova a meno di una decade da $\omega_1$ e quindi dovresti considerare anche questa ottenendo la seguente funzione
$F(s)=20/((1+10s)(1+2s))$
Il terzo polo è senz'altro trascurabile perchè lontano. Questa funzione comunque non è semplice. Quindi puoi determinare una stima della frequenza di attraversamento indicativa utilizzando la (1), quindi partendo da $\omega_c=1$, e poi, sapendo che il secondo polo può averla solo fatta diminuire, procederei a tentativi, diminuendola gradualmente. Avendo questa stima di partenza dopo pochi tentativi dovresti avere una migliore approssimazione.
$s=j\omega$
Sostituendo ottieni:
$F(j\omega)=20/(-20 \omega^2+12.2 j\omega+2)$
Per ottenere $\omega_c$ devi risolvere $F(j\omega)=0 dB=1$, cioè:
$-20 \omega^2+12.2 j\omega+2=20$
Finché hai non più di tre poli e tre zeri il calcolo è semplice, altrimenti si risolve facilmente con il computer
Sostituendo ottieni:
$F(j\omega)=20/(-20 \omega^2+12.2 j\omega+2)$
Per ottenere $\omega_c$ devi risolvere $F(j\omega)=0 dB=1$, cioè:
$-20 \omega^2+12.2 j\omega+2=20$
Finché hai non più di tre poli e tre zeri il calcolo è semplice, altrimenti si risolve facilmente con il computer
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