Calcolo funzione di distribuzione cumulativa

[Oo.Stud.ssa.oO]

Avendo $f_y(Y)=
{ \int_{ln2}^{ln6} \frac{1}{4} e^y$ se $ln2<=y<=ln6}$;
$0$ altrove

la funzione di distribuzione cumulativa è uguale a $\int_{ln2}^yf_y(Y) $

Quindi se $ln2 se $y ma perchè se $y>ln6$ho che $F_y(Y)=1$???

[elgiovo]

"Oo.tania":Avendo $f_y(Y)=
{ \int_{ln2}^{ln6} \frac{1}{4} e^y$ se $ln2<=y<=ln6}$;
$0$ altrove

In base a quanto dici in seguito, credo che invece tu volessi dire

$f_y(Y)= \frac{1}{4} e^y$ per $\ln 2 < y < \ln 6$,
$0$ altrove

la funzione di distribuzione cumulativa è uguale a $\int_{ln2}^yf_y(Y) $

Ok, per la precisione sarebbe $F_Y(y) = \int_{-\infty}^yf_y(Y)\text{d}y$ però siccome $f_Y(y)=0$ per $y<\ln 2$ è giusto quello che dici tu

ma perchè se $y>ln6$ho che $F_y(Y)=1$???

Prova a calcolare $F_Y(y)$ con l'integrale che hai scritto sopra. Ti verrà che vale $1$ per $y = \ln 6$. Poi siccome $f_Y(y)=0$ per $y>\ln 6$ non hai più carne al fuoco da buttare nell'integrale e avrai necessariamente che $F_Y(y)=1$ per $y>\ln 6$.
Per capirlo però non c'è bisogno di nessun conto: se la tua densità di probabilità $f_Y(y)$ è diversa da $0$ solo in un intervallo limitato, allora necessariamente $F_Y(y)=0$ prima dell'intervallo e $F_Y(y)=1$ dopo dell'intervallo. In altri termini, se la variazione della v.a. è tutta limitata ad un intervallo finito $[a, b]$ allora se consideri valori al di fuori dell'intervallo sei certa che la v.a. non possa essere minore di $a$ o maggiore di $b$, quindi la cumulativa sarà rispettivamente $0$ o $1$.

[Oo.Stud.ssa.oO]

In effetti i conti tornano, ma quindi ogni volta che ho una funzione densità di probabilità uniformemente distribuita tra $a$ e $b$ la $F_y(Y)$ è $0$ prima di $a$ e $1$ dopo di $b$? Sempre?

[elgiovo]

"Oo.tania":ogni volta che ho una funzione densità di probabilità uniformemente distribuita tra $a$ e $b$

Ehm.. tutto ok se non fosse per quell'"uniformemente distribuita". Se una v.a. è uniformemente distribuita in $[a,b]$ allora $f_Y(y)$ è costante e vale $\frac{1}{b-a}$ (in modo che l'integrale da $-\infty$ a $\infty$ faccia $1$). Nel tuo caso è diverso, $Y$ non ha una distribuzione uniforme in $[\ln 2, \ln 6]$, infatti varia esponenzialmente con $y$. Quello che volevo farti passare è che se $f_Y(y)$ è diversa da $0$ solo in un intervallo limitato, come nel tuo caso, allora è vero che $F_Y(y)$ vale $0$ o $1$ al di fuori dell'intervallo. Poi ovviamente questo vale anche per le v.a. uniformemente distribuite, perché anche la loro distribuzione è limitata ad un intervallo, ma è solo un caso particolare.

[Oo.Stud.ssa.oO]

Grazie sei stato chiarissimo!!!