Calcolo del fattore di taglio in una sezione circolare

[DomCobb]

Come da titolo, vorrei sapere come si calcola il fattore di taglio per una sezione circolare.
Io ho provato a svolgerlo così:
Ho scelto una corda di lunghezza $b = 2Rsin(theta)$ individuata appunto da un angolo $theta$. Per calcolarmi il momento statico della regione A* individuata dalla corda ho fatto
$x_2 = Rcos(alpha)$ con $alpha$ che individua un punto generico su A*. $theta $x_1 = 2Rsen(alpha)$
$dA$* $= x_1 * dx_2 = (2Rsen(alpha))*(-Rsen(alpha))*dalpha = -2R^2 (sen(alpha))^2 dalpha$
e allora
$S_1 = int_(theta)^(0) x_2 dA$* = [...] $= 2/3 R^3 (sen(theta))^3$
L'area del cerchio la sappiamo tutti, e il momento statico vale $I_1 = pi/4 R^4$
Dai miei appunti risulta
$chi = A/(I_1)^2 int_(A)^() (S_1 / b)^2 (1+(tan(theta))^2) dA$
che sostituendo diventa
$chi = (piR^2)/(pi^2 R^8/16) int_(A)^() (4/9 R^6 (sin(theta))^6)/(4 R^2 (sen(theta))^2) (1+(tan(theta))^2) dA = 16/(9piR^2) int_(A)^() (sin(theta))^4 (1+(tan(theta))^2) dA$
Da qui buio totale. Pensavo bastasse integrare normalmente sull'area del cerchio ma quell'integrale non risulta definito. Per cui ho sicuramente sbagliato qualcosa prima. Sapreste aiutarmi? Grazie mille in anticipo

[sonoqui_1]

Mi risulta svolto così l'integrale
$A=int_(a)^(b) (sqrt(r^2-x^2)-c)dx$
Il quale rappresenta l'area compresa tra la parte positiva della circonferenza e una retta orizzontale a quota c che la interseca.
a e b sono le coordinate x dei punti in cui la retta interseca la circonferenza, mentre r è il raggio della circonferenza.
Sostituendo $x=rsintheta$, si ha
$dx=rd\thetacostheta$
$int_(alpha)^(beta)(r^2cos^2theta-crcostheta)d\theta$
che si può risolvere integrando due volte per parti.

[DomCobb]

Ma quella sarebbe l'area della regione che interseca la corda sul cerchio? Non mi serve il momento statico rispetto a uno dei due assi?
Poi non saprei proprio come trattare quella tangente

[sonoqui_1]

Si, quella è l'area racchiusa tra le due curve, utile per calcolare il momento statico come
$S=int_(a)^(b) (sqrt(r^2-x^2)+c)/2*(sqrt(r^2-x^2)-c)dx$
Praticamente si può immaginare di suddividere la sezione in tanti rettangoli di larghezza dx e per ogni rettangolo ricavare la coordinata y del baricentro, che è $(sqrt(r^2-x^2)+c)/2$, e ricavare la media pesata di tali coordinate (pesata sulla superficie del rettangolo, che è $(sqrt(r^2-x^2)-c)dx$).