Calcolo del carico critico di un'asta
Ragazzi ho una domanda velocissima e semplice ma di vitale importanza visto che domani ho l'esame!
Allora data un'asta orizzontale e fate conto da un lato ho un incastro e nel mezzo ho una cerniera e in fondo ho un altra cerniera. Quest'asta è soggetta a una variazione di temperatura nota. Io devo determinare il carico critico assiale applicato in fondo all'asta. Cosa mi comporta la temperatura nel calcolo del carico critico??
So che se c'è una variazione di temperatura l'asta è soggetta a deformarsi però come considero questo nella formula?
io so che un metodo generale per trovare il carico critico è la risoluzione della seguente equazione:
v(z)=Asen(alfa+z)+Bcos(alfa*z)+Cz+D
ma qui come ci inserisco la dilatazione termica che ho in direzione orizzontale?
devo forse usare qualche altro teorema per esempio i lavori visrtuali o l'eq della linea elastica??
Vi prego rispondete sareste la mia salvezza!!!
:)
Allora data un'asta orizzontale e fate conto da un lato ho un incastro e nel mezzo ho una cerniera e in fondo ho un altra cerniera. Quest'asta è soggetta a una variazione di temperatura nota. Io devo determinare il carico critico assiale applicato in fondo all'asta. Cosa mi comporta la temperatura nel calcolo del carico critico??
So che se c'è una variazione di temperatura l'asta è soggetta a deformarsi però come considero questo nella formula?
io so che un metodo generale per trovare il carico critico è la risoluzione della seguente equazione:
v(z)=Asen(alfa+z)+Bcos(alfa*z)+Cz+D
ma qui come ci inserisco la dilatazione termica che ho in direzione orizzontale?
devo forse usare qualche altro teorema per esempio i lavori visrtuali o l'eq della linea elastica??
Vi prego rispondete sareste la mia salvezza!!!
:)
Risposte
Se si tratta di una variazione di temperatura costante lungo l'altezza della trave, essa comporterà solo una elongazione (o accorciamento) lineare, per cui influirà solamente sull'intensità dello sforzo assiale applicato.
La formula che citi tu è riferita ad una situazione in cui vi sia la presenza di un'eccentricità, ma non mi pare il tuo caso.
In ogni caso, in bocca al lupo
La formula che citi tu è riferita ad una situazione in cui vi sia la presenza di un'eccentricità, ma non mi pare il tuo caso.
In ogni caso, in bocca al lupo
e quindi nel mio caso come trovo il carico critico? io l ho sempre visto trovare tramite quella formula..ne ricavavo le prime tre derivate e poi imponendo delle condizioni al contorno risolvevo il sistema trovandomi il valore di alfa e poi tramite la relazione che alfa^2=N\E*I mi ricavavo il carico critico N.
In questo caso come devo fare??
In questo caso come devo fare??
Ti chiedo scusa hai ragione.
Effettivamente anche solo per lo sforzo normale la determinazione del carico critico è proprio come dici tu.
Quindi si tratta solo di capire com'è il carico termico:
Se è uniforme, a mio avviso non influisce minimamente (crea un'elongazione o accorciamento lineare dell'asta).
Se è lineare (a farfalla) bisogna tenerne conto all'interno dell'equazione differenziale attraverso la curvatura termica.
Effettivamente anche solo per lo sforzo normale la determinazione del carico critico è proprio come dici tu.
Quindi si tratta solo di capire com'è il carico termico:
Se è uniforme, a mio avviso non influisce minimamente (crea un'elongazione o accorciamento lineare dell'asta).
Se è lineare (a farfalla) bisogna tenerne conto all'interno dell'equazione differenziale attraverso la curvatura termica.
Nel mio caso è costante lungo tutta l'asta..quindi dici che non influisce per niente sul carico critico? lo determino come se non ci fosse?
se invece variasse linearmente a farfalla come dovrei fare? io so che mi determina un accorciamento che si calcola moltiplicando conducibilità termica per la temperatura e integrando lungo tutta l'asta..però quello in genere lo faccio quando devo determinare lo spostamento di un punto tramite i lavori virtuali..per il carico critico cosa devo fare?
Scusa del disturbo e grazie!
se invece variasse linearmente a farfalla come dovrei fare? io so che mi determina un accorciamento che si calcola moltiplicando conducibilità termica per la temperatura e integrando lungo tutta l'asta..però quello in genere lo faccio quando devo determinare lo spostamento di un punto tramite i lavori virtuali..per il carico critico cosa devo fare?
Scusa del disturbo e grazie!
"lore1990":
Nel mio caso è costante lungo tutta l'asta..quindi dici che non influisce per niente sul carico critico? lo determino come se non ci fosse?
A mio avviso no, naturalmente varia solo il carico critico minimo (sarà minore se $\DeltaT$ è positivo in quanto l'asta si allunga in qunanto cresce la lunghezza libera di inflessione, viceversa sarà superiore)
"lore1990":
se invece variasse linearmente a farfalla come dovrei fare? io so che mi determina un accorciamento che si calcola moltiplicando conducibilità termica per la temperatura e integrando lungo tutta l'asta..però quello in genere lo faccio quando devo determinare lo spostamento di un punto tramite i lavori virtuali..per il carico critico cosa devo fare?
In quel caso la curvatura effettiva sarà data dalla somma tra quella elastica e quella termica.
$\chi^{tot}=\chi^{el}+\chi^{\DeltaT}$
con $\chi^{\DeltaT}=\frac{2\alpha\DeltaT}{h}$
ovviamente sai che $\chi^{el}=\frac{d^2v}{dx^2}$
per cui all'interno dell'equazione differenziale dovrai inserire anche il contributo costante del $\chi^{\DeltaT}$
Però se non lo sai evidentemente il tuo prof non ve l'ha spiegato e molto probabilmente domani non ve lo chiederà, anche perchè impararlo il giorno prima con la mia misera spiegazione la vedo un' pò dura.
ciao
L'instabilità può presentarsi in una della due travi. Se ho capito bene, nella seconda trave, quella senza incastro, c'è una cerniera che all'estremo la fissa a terra.
Quindi per trovare il carico critico sotiuirei alla reazione orizzontale di questa cerniera un carico orizzontale e determinerei il valore critico di questo che instabilizza almeno una delle due aste.
L'incastro e la cerniera impediscono la dilatazione termica, quindi la variazione di temperatura può essere correlata al carico critico, anche successivamente al calcolo di questo, uguagliando le tensioni assiali generate nella struttura e dalla variazione di temperatura.
Quindi per trovare il carico critico sotiuirei alla reazione orizzontale di questa cerniera un carico orizzontale e determinerei il valore critico di questo che instabilizza almeno una delle due aste.
L'incastro e la cerniera impediscono la dilatazione termica, quindi la variazione di temperatura può essere correlata al carico critico, anche successivamente al calcolo di questo, uguagliando le tensioni assiali generate nella struttura e dalla variazione di temperatura.
Mi sono fatto un po' di conti e alla fine mi torna il risultato previsto per asta incernierata a terra e con carrello a terra, per quella senza incastro, e asta incastrata per quella con l'incastro.
Rispettivamente i valori dei carichi di Eulero $F_1$ e $F_2$, con deformata arbitraria della prima asta e deformata arbitraria della seconda asta, sono:
$omega_1=sqrt(F_1/(EI_1))=kpi/l$
$omega_2=sqrt(F_2/(EI_2))=2npi/l$
Il carico critico per l'intera struttura è quindi quello minimo tra i valori, dipendentemente dai dati sulle sezioni delle travi.
Le deformate corrispondenti, scegliendo gli zeri nell'incastro per l'asta 2 e nella cerniera estrema per l'altra asta, mi risultano:
$w_1(x)=K_2sin(omega_1x)-C_1/(2l)x$
$w_2(x)=C_1cos(omega_2x)+C_1/(2lomega_2)sin(omega_2x)+C_1-C_1/(2l)x$
Con $C_1$ e $K_2$ valori arbitrarii (piccoli).
Mi puoi confermare il risultato?
Rispettivamente i valori dei carichi di Eulero $F_1$ e $F_2$, con deformata arbitraria della prima asta e deformata arbitraria della seconda asta, sono:
$omega_1=sqrt(F_1/(EI_1))=kpi/l$
$omega_2=sqrt(F_2/(EI_2))=2npi/l$
Il carico critico per l'intera struttura è quindi quello minimo tra i valori, dipendentemente dai dati sulle sezioni delle travi.
Le deformate corrispondenti, scegliendo gli zeri nell'incastro per l'asta 2 e nella cerniera estrema per l'altra asta, mi risultano:
$w_1(x)=K_2sin(omega_1x)-C_1/(2l)x$
$w_2(x)=C_1cos(omega_2x)+C_1/(2lomega_2)sin(omega_2x)+C_1-C_1/(2l)x$
Con $C_1$ e $K_2$ valori arbitrarii (piccoli).
Mi puoi confermare il risultato?
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