[Automazione, Controlli Automatici II] Antitrasformata Z

[mikoile]

Buonasera, essendo alle prime armi con la z-trasformata non ho capito questo esercizio in cui viene chiesto il calcolo dell'antitrasformata con il metodo dell'integrale di inversione:

\(\displaystyle G(z)=\frac{z+2}{z^2(z+1)} \) , quindi diventa \(\displaystyle G(z)z^{k-1}=\frac{(z+2)*z^{k-3}}{(z+1)} \)

IL mio professore ha svolto questo esercizio suddividendolo in casi:
k=0 f(0)=0
k=1 f(1)=0
k=2 f(2)=1
k>=3 \(\displaystyle f(k)=(-1)^{k-3}*1(k-3) \)

Poi per scrivere un'unica espressione per qualsiasi valori di k ( e quindi unificare i casi di sopra):
\(\displaystyle f(k)=(-1)^{k-3}*1(k-3)\) +\(\displaystyle \delta(k-2) \)

I miei dubbi sono quindi:
1) come sono stati calcolati i valori f(0)=0, f(1)=0, e f(2)=1 per k=0,1,2 ?
2) Nel momento in cui calcolo per k>=3 \(\displaystyle \lim_{z \to \ -1}(z+2)*z^{k-3} \) ottengo (\(\displaystyle -1)^{k-3}*1 \), perché 1 diventa \(\displaystyle 1(k-3) \) nel caso di sopra ?
3)perché per ottenere un'unica espressione aggiungo \(\displaystyle \delta(k-2) \) ?

Sono consapevole che sono domande banali, vi pregherei però di rispondere ugualmente in maniera chara e semplice
Ringrazio in anticipo

[Exodus1]

Prova cosi:

\(f\left ( k \right )=\left ( -1 \right )^{k-3}\delta \left ( k-3 \right )+\delta \left ( k-2 \right )\)

Faccio variare \(k\) :

\(f\left ( 0 \right )=\left ( -1 \right )^{0-3}\delta \left (0 -3 \right )+\delta \left ( 0-2 \right )=0\)
\(f\left ( 1 \right )=\left ( -1 \right )^{1-3}\delta \left (1 -3 \right )+\delta \left ( 1-2 \right )=0\)
\(f\left ( 2 \right )=\left ( -1 \right )^{2-3}\delta \left (2 -3 \right )+\delta \left ( 2-2 \right )=1\)
\(f\left ( 3 \right )=\left ( -1 \right )^{3-3}\delta \left (3 -3 \right )+\delta \left ( 3-2 \right )=1\)
\(f\left ( 4 \right )=\left ( -1 \right )^{4-3}\delta \left (4 -3 \right )+\delta \left ( 4-2 \right )=-1\)

Insomma svolgi i calcoli , niente di cosi' esoterico

[Quinzio]

1.
E' spiegato tutto qui https://it.wikipedia.org/wiki/Trasforma ... ta_inversa
Scomponendo in fratti semplici :
\( \displaystyle G(z)z^{k-1}=\frac{(z+2)*z^{k-3}}{(z+1)} \)
si ottiene per $k=0$

$2/z^3-1/z^2+1/z-1/(z+1)$

I residui da considerare sono il 3° e 4° addendo, che sono -1 e 1, e la loro somma da zero, quindi $f(0)=0$

Per $ k= 1 $

$2/z^2-1/z+1/(z+1)$

e di nuovo la somma del 2° e 3° addenso, i residui, fa zero. $f(1)=0$
E cosi' via...

2.

\( f\left ( k \right )=\left ( -1 \right )^{k-3}\delta \left ( k-3 \right )+\delta \left ( k-2 \right ) \)

Significa che c'e' una delta in 2.
Poi grazie al gradino $1(k-3)$, che significa 1 se $k>=3$, altrimenti zero, inizia l'alternanza di -1, 1, -1 ...