[automatica]sistemi dinamici e proprietà
Come da titolo, studiando questi argomenti ci sono alcune cose che non ho chiare (sono all inizio del corso).
TUtti sappiamo che la nostra eq. di stato è ---> $x'(t)=f(x(t),u(t),t)$
e la nostra eq. di uscita è ---->$y(t)=g(x(t),u(t),t)$
ora vi chiedo:
una volta scelte le var ingresso e stato e uscita, come posso "applicare" le mie formule??
Inoltre, non mi sono molte chiare le proprietà di linearità e invarianza.
Grazie delle eventuali risposte
TUtti sappiamo che la nostra eq. di stato è ---> $x'(t)=f(x(t),u(t),t)$
e la nostra eq. di uscita è ---->$y(t)=g(x(t),u(t),t)$
ora vi chiedo:
una volta scelte le var ingresso e stato e uscita, come posso "applicare" le mie formule??
Inoltre, non mi sono molte chiare le proprietà di linearità e invarianza.
Grazie delle eventuali risposte
Risposte
Allora, dato che anche io sono alle prese con i fondamenti di automatica, posso risponderti solo per quello che ho trattato al corso 
Al corso che ho seguito si sono trattati sistemi lineari e tempo invarianti (LTI). Per un sistema siffatto il nostro modello matematico del sistema si riduce a : $ dot x = A x + B u $ e $ y = C x + D u $, dove $A, B, C, D$ sono delle matrici che dipendono dall'ordine del sistema di equazioni differenziali, e $dot x $ e $x$ sono dei vettori.
La soluzione di questa equazione differenziale esiste, e si chiama Formula di LaGrange, però non è molto utilizzata perchè contiene un integrale da svolgere che il + delle volte non è risolvibile in forma chiusa.
Per questo motivo di solito si usa la trasformata di LaPlace per risolvere sistemi di questo tipo, e quindi trasformiamo il nostro sistema di equazioni, otteniamo $X(s) = ( sI - A)^-1 x(0) + (sI-A)^-1 B U(s)$ e $Y(s) = C(sI - A)^-1 x(0) + [C(sI - A)^-1B + D]U(s)$, dove con le lettere maiuscole ho indicato le quantità trasformate.
Si definisce funzione di trasferimento la quantità complessa G(s)= C(sI - A)^-1B + D. Si ricava facilmente che per ottenere la risposta a qualsiasi ingresso U(s), basta fare Y(s) = G(s)U(s), e antitrasformare (tanto sono tutte funzioni razionali fratte che si possono scomporre in fratti semplici per ricondursi a trasformate elementari).
Per quanto riguarda la linearità e la tempo invarianza: una equazione si dice lineare se $f( \alpha x + \beta y) = \alphaf(x) + \beta f(y)$ ; cioè questo vuol dire che si può applicare la sovrapposizione degli effetti, e quindi se hai un sistema con 2 ingressi puoi sempre analizzare il sistema prima come se ci fosse solo un ingresso e poi come se ci fosse solo l'altro e poi sommare i due contributi; inoltre puoi sempre scomporre l'uscita di un sistema come la risposta forzata a stato zero + la risposta a ingresso zero, insomma puoi fare un sacco di cose....
la tempo invarianza sostanzialmente ti dice che se devi studiare un transitorio che si verifica in t = 5 puoi risolverlo come se avvenisse in t = 0 e poi traslare l uscita in t = 5 una volta che hai svolto i conti.
Spero di essere riuscito a spiegarmi
CIau!
Al corso che ho seguito si sono trattati sistemi lineari e tempo invarianti (LTI). Per un sistema siffatto il nostro modello matematico del sistema si riduce a : $ dot x = A x + B u $ e $ y = C x + D u $, dove $A, B, C, D$ sono delle matrici che dipendono dall'ordine del sistema di equazioni differenziali, e $dot x $ e $x$ sono dei vettori.
La soluzione di questa equazione differenziale esiste, e si chiama Formula di LaGrange, però non è molto utilizzata perchè contiene un integrale da svolgere che il + delle volte non è risolvibile in forma chiusa.
Per questo motivo di solito si usa la trasformata di LaPlace per risolvere sistemi di questo tipo, e quindi trasformiamo il nostro sistema di equazioni, otteniamo $X(s) = ( sI - A)^-1 x(0) + (sI-A)^-1 B U(s)$ e $Y(s) = C(sI - A)^-1 x(0) + [C(sI - A)^-1B + D]U(s)$, dove con le lettere maiuscole ho indicato le quantità trasformate.
Si definisce funzione di trasferimento la quantità complessa G(s)= C(sI - A)^-1B + D. Si ricava facilmente che per ottenere la risposta a qualsiasi ingresso U(s), basta fare Y(s) = G(s)U(s), e antitrasformare (tanto sono tutte funzioni razionali fratte che si possono scomporre in fratti semplici per ricondursi a trasformate elementari).
Per quanto riguarda la linearità e la tempo invarianza: una equazione si dice lineare se $f( \alpha x + \beta y) = \alphaf(x) + \beta f(y)$ ; cioè questo vuol dire che si può applicare la sovrapposizione degli effetti, e quindi se hai un sistema con 2 ingressi puoi sempre analizzare il sistema prima come se ci fosse solo un ingresso e poi come se ci fosse solo l'altro e poi sommare i due contributi; inoltre puoi sempre scomporre l'uscita di un sistema come la risposta forzata a stato zero + la risposta a ingresso zero, insomma puoi fare un sacco di cose....
la tempo invarianza sostanzialmente ti dice che se devi studiare un transitorio che si verifica in t = 5 puoi risolverlo come se avvenisse in t = 0 e poi traslare l uscita in t = 5 una volta che hai svolto i conti.
Spero di essere riuscito a spiegarmi
CIau!
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