[automatica] Bode
Ciao a tutti, vorrei sottoporvi nuovamente un mio "problema" su Bode perchè ancora non sono riuscita a risolverlo..
Dai miei appunti e dal libro di testo che uso io ( Ingegneria a padova ) mi risulta
DIAGRAMMI ELEMENTARI
$ (Kb)/s^l $ ( dove Kb è il guadagno in decibel )
Fase :
y = fase ( $ Kb $ ) - fase ($ (jw)^l $ ) ( ottenuto sostituendo s=jw )
da cui
y = $ 0 - lpi/2 $ se $ Kb $ > 0
y = $ - pi - lpi/2 $ se $ Kb $ < 0
ma siccome il guadagno è negativo ( - 1/9 ) e ho 1 polo nell'origine ( dunque $ l = 1 $ )
il diagramma delle fase non dovrebbe partire, come da formula sopra, da $ -3/2pi $ ??
Datemi una dritta -.-"
EDIT : corretta formula
Dai miei appunti e dal libro di testo che uso io ( Ingegneria a padova ) mi risulta
DIAGRAMMI ELEMENTARI
$ (Kb)/s^l $ ( dove Kb è il guadagno in decibel )
Fase :
y = fase ( $ Kb $ ) - fase ($ (jw)^l $ ) ( ottenuto sostituendo s=jw )
da cui
y = $ 0 - lpi/2 $ se $ Kb $ > 0
y = $ - pi - lpi/2 $ se $ Kb $ < 0
ma siccome il guadagno è negativo ( - 1/9 ) e ho 1 polo nell'origine ( dunque $ l = 1 $ )
il diagramma delle fase non dovrebbe partire, come da formula sopra, da $ -3/2pi $ ??
Datemi una dritta -.-"
EDIT : corretta formula
Risposte
beh K negativo -> la fase di (-k,0) è 180°
polo nell'origine -> parti con -90°
-> la fase totale sarà costante a +90°
polo nell'origine -> parti con -90°
-> la fase totale sarà costante a +90°
Scusaaa.XD..ho scritto sbagliato la formula sopra..cioè l'ho scritta come è secondo me..ma sul libro e sugli appunti è
Kb < 0 => $ -pi-lpi/2 $
per questo non mi torna quella scritta dal prof..
Ho appena corretto la formula inziale!
Kb < 0 => $ -pi-lpi/2 $
per questo non mi torna quella scritta dal prof..
Ho appena corretto la formula inziale!
piu che altro k<0 può essereinteso come fase +180 o -180.. cioè sul piano tra$k*e^(pi j)$ e $k*e^(-pi j)$ fai fatica a distinguere.
..cioè posso usare ARBITRARIAMENTE + 180 o - 180?? uhm..
eh infatti.... no.
ti dico la mia, una è in anticipo, l'altra in riatardo. chiaramente un sistema non può rispondere in anticipo... quindi io direi che è giusta 180.
comunque ho guardato sul libro. dice che $k<0 => P=-180°$ ma che usare -180 piuttosto che +180 è puramente convenzionale
ho provato con matlab che dice +180.
a questo punto ti dico, segui il tuo prof
ti dico la mia, una è in anticipo, l'altra in riatardo. chiaramente un sistema non può rispondere in anticipo... quindi io direi che è giusta 180.
comunque ho guardato sul libro. dice che $k<0 => P=-180°$ ma che usare -180 piuttosto che +180 è puramente convenzionale
ho provato con matlab che dice +180.
a questo punto ti dico, segui il tuo prof
grazie mille!!
infatti anche io avrei detto +180 nella formula generale con K<0 pensando al discorso di fase di un numero reale negativo..
ma lui una volta usa +180 e una volta -180..a caso?
non so se c'è un motivo per cui una volta usa il + e una volta usa il - .. ma in ogni caso non l'ha mai menzionata..e sul libro la cosa è chiara :
per K < 0 $-pi-lpi/2$
solo che ovviamente, seguendo questa regola, non ottengo il grafico come il suo..e non so poi se è giusto -.-"
già che ci sei, posso chiederti un'altra cosa?
Nel luogo delle radici p(s) + kq(s) = 0 quando devo determinare i k per cui ho ( o meno) stabilità oppure per cui ho ( o meno ) la presenza di oscillazioni, solo osservando il grafico come faccio??
So che i punti di intersezione con l'asse immaginario corrispondono al limite di stabilità e quindi mi è sufficiente compilare la tabella di Routh e ricavarmi i k che mi danno l'intersezione con l'asse immaginario..
..ma per le oscillazioni? Devo guardare i k che mi portano ad avere punti doppi?
infatti anche io avrei detto +180 nella formula generale con K<0 pensando al discorso di fase di un numero reale negativo..
ma lui una volta usa +180 e una volta -180..a caso?
non so se c'è un motivo per cui una volta usa il + e una volta usa il - .. ma in ogni caso non l'ha mai menzionata..e sul libro la cosa è chiara :
per K < 0 $-pi-lpi/2$
solo che ovviamente, seguendo questa regola, non ottengo il grafico come il suo..e non so poi se è giusto -.-"
già che ci sei, posso chiederti un'altra cosa?
Nel luogo delle radici p(s) + kq(s) = 0 quando devo determinare i k per cui ho ( o meno) stabilità oppure per cui ho ( o meno ) la presenza di oscillazioni, solo osservando il grafico come faccio??
So che i punti di intersezione con l'asse immaginario corrispondono al limite di stabilità e quindi mi è sufficiente compilare la tabella di Routh e ricavarmi i k che mi danno l'intersezione con l'asse immaginario..
..ma per le oscillazioni? Devo guardare i k che mi portano ad avere punti doppi?
non è difficile,
tracci il luogo.
se hai un polo instabile, guarda se c'è un ramo che parte da esso e arriva nel semipiano sinistro. evidentemente se non c'è non c'è alcun k per cui il sistema è stabilizzabile solo usando un proporzionale. se invece c'è devi trovare k per cui il polo spostandosi lungo il ramo attraversa l'asse e va a sinistra.
invece se vuoi un tempo di assestamento < di un tot (ta) allora intuitivamente ciò che devi fare è spostare la dinamica dominante a sinistra di $omega=-1/t_a$ (parlo per poli reali, per complessi devi guardare omega_n) infatti un questo modo la frequenza naturale sarà tale da dare un ta accettabile.
per le oscillazioni devi sempre lavorare sulla dominante.
in particolare considera il piano complesso.
due poli cc possono essere scritti come $1/(s^2 + 2*delta*w_n*s + omega_n^2)$
cioè $(a+jb)*(a-jb) =(s^2 + 2*delta*w_n*s + omega_n^2)$ risolvendo viene la corrispondenza $a=-delta omega_n$ $b=omega_n*sqrt(1-delta^2)$ ok?
praticamente è un vettore di modulo $omega_n$ le cui componenti sono $(a,+- b)$ infatti se sul piano complesso poni $delta= cos theta$ dove %theta$ è l'angolo tra il vettore e il semiasse negativo reale allora si ha $a=omega_n*cos theta$,$b=omega_n sin theta$
quindi il coefficiente di smorzamento è legato all'angolo che il vettore che unisce l'origine al polo complesso forma con la semiasse negativa reale. ergo se vuoi una sovraelongazione% < Sm usi la formula $delta(S%)$ che trovi sui libri e poi calcoli l'angolo massimo che il polo cc può formare con l'asse x tramite $theta_(m a x) = a r c cos delta$
questo individua un'area in cui devi portare i poli dominanti per ottenere tale specifica
tracci il luogo.
se hai un polo instabile, guarda se c'è un ramo che parte da esso e arriva nel semipiano sinistro. evidentemente se non c'è non c'è alcun k per cui il sistema è stabilizzabile solo usando un proporzionale. se invece c'è devi trovare k per cui il polo spostandosi lungo il ramo attraversa l'asse e va a sinistra.
invece se vuoi un tempo di assestamento < di un tot (ta) allora intuitivamente ciò che devi fare è spostare la dinamica dominante a sinistra di $omega=-1/t_a$ (parlo per poli reali, per complessi devi guardare omega_n) infatti un questo modo la frequenza naturale sarà tale da dare un ta accettabile.
per le oscillazioni devi sempre lavorare sulla dominante.
in particolare considera il piano complesso.
due poli cc possono essere scritti come $1/(s^2 + 2*delta*w_n*s + omega_n^2)$
cioè $(a+jb)*(a-jb) =(s^2 + 2*delta*w_n*s + omega_n^2)$ risolvendo viene la corrispondenza $a=-delta omega_n$ $b=omega_n*sqrt(1-delta^2)$ ok?
praticamente è un vettore di modulo $omega_n$ le cui componenti sono $(a,+- b)$ infatti se sul piano complesso poni $delta= cos theta$ dove %theta$ è l'angolo tra il vettore e il semiasse negativo reale allora si ha $a=omega_n*cos theta$,$b=omega_n sin theta$
quindi il coefficiente di smorzamento è legato all'angolo che il vettore che unisce l'origine al polo complesso forma con la semiasse negativa reale. ergo se vuoi una sovraelongazione% < Sm usi la formula $delta(S%)$ che trovi sui libri e poi calcoli l'angolo massimo che il polo cc può formare con l'asse x tramite $theta_(m a x) = a r c cos delta$
questo individua un'area in cui devi portare i poli dominanti per ottenere tale specifica
..si si ti ho seguito..però credo che quello che devo fare io sia meno approfondito..posto quest'immagine del luogo per farti un esempio..
$ p(s)+kq(s) = (s+7)^2(s-1) + k(s^2-10s+61) $
questo è il luogo delle radici per K>0
-1 è punto doppio ( il pallino più cicciotto nella foto).
ho calcolato le intersezioni con l'asse immaginario per k = -18.35 (non accettabile perchè è richiesto K>0) e per k = 2.75.
la domanda è : determinare i valori di K per cui il sistema ad anello chiuso è stabile e quelli per cui i modi non hanno componenti oscillatorie.
Ho stabilità per 0<=k<=2.75.
ma le componenti oscillatorie da dove le deduco dal grafico?
Pensavo di dover individuare il k a cui corrisponde il punto doppio.
Spero di essermi spiegata, ti ringrazio tanto per la disponibilità!!
$ p(s)+kq(s) = (s+7)^2(s-1) + k(s^2-10s+61) $
questo è il luogo delle radici per K>0
-1 è punto doppio ( il pallino più cicciotto nella foto).
ho calcolato le intersezioni con l'asse immaginario per k = -18.35 (non accettabile perchè è richiesto K>0) e per k = 2.75.
la domanda è : determinare i valori di K per cui il sistema ad anello chiuso è stabile e quelli per cui i modi non hanno componenti oscillatorie.
Ho stabilità per 0<=k<=2.75.
ma le componenti oscillatorie da dove le deduco dal grafico?
Pensavo di dover individuare il k a cui corrisponde il punto doppio.
Spero di essermi spiegata, ti ringrazio tanto per la disponibilità!!
ah beh si, in questo caso chiede $delta>0.75$ (no sovraelongazione) quindi idealmente richiederebbe $delta=1$ per cui si, ti chiede k per cui i rami si incontrano nel punto doppio $theta=0$.
perfetto!! Grazie mille davvero!!!
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