Auto correlazione di un segnale
Devo trovare l’auto correlazione di un segnale $ x(t) = A \rect (\frac (t)(T) ) $. Ho cercato di risolverlo in vari modi
1) ho applicato la definizione di $ e_x (t) = \int_{+ \infty }^{- \infty } [x(t)]^{\ast} x(t+\tau) d \tau $ cioè $ A^{2} \int_{+ \infty }^{- \infty } [\rect \frac{t}{T} ]^{\ast} \rect \frac{t+ \tau}{T} d \tau $ ma questo equivale a $ A^{2} \int_{+ \infty }^{- \infty } [\rect \frac{t}{T} ] \rect \frac{t+ \tau}{T} d \tau $ dato che il rect da coniugare è reale. A questo punto mi sono bloccata perché non riesco a risolvere l’integrale
2) al secondo tentativo mi sono ( solo leggermente ) Illuminata e mi sono ricordata l’autocorrelazione , che dovrebbe essere la correlazione tra due segnali uguali , potevo indicarla come $ e_x (t) = [x(-t)]^{\ast} \ast y(t) = A^{2} rect \frac{t}{T} \ast rect \frac{t}{T} $. Ho risolto la convoluzione ed ho ottenuto $ A^{2} tri \frac {t}{T} $
3) dopo aver già fatto il calcolo della convoluzione mi sono ricordata che potevo applicare la proprietà della convoluzione quindi ho ottenuto $ e_x (t) = F[ [x(-t)]^{\ast} ] F [ A^{2} rect \frac{t}{T} \ast rect \frac{t}{T} ] $ dove F è la trasformata di Fourier. Risolvendo ottengo $ A^{2} [sinc (fT)]^{2} $
il risultato dovrebbe essere $ A^{2}T tri \frac {t}{T} $ E non lo ottengo in nessun modo
1) ho applicato la definizione di $ e_x (t) = \int_{+ \infty }^{- \infty } [x(t)]^{\ast} x(t+\tau) d \tau $ cioè $ A^{2} \int_{+ \infty }^{- \infty } [\rect \frac{t}{T} ]^{\ast} \rect \frac{t+ \tau}{T} d \tau $ ma questo equivale a $ A^{2} \int_{+ \infty }^{- \infty } [\rect \frac{t}{T} ] \rect \frac{t+ \tau}{T} d \tau $ dato che il rect da coniugare è reale. A questo punto mi sono bloccata perché non riesco a risolvere l’integrale
2) al secondo tentativo mi sono ( solo leggermente ) Illuminata e mi sono ricordata l’autocorrelazione , che dovrebbe essere la correlazione tra due segnali uguali , potevo indicarla come $ e_x (t) = [x(-t)]^{\ast} \ast y(t) = A^{2} rect \frac{t}{T} \ast rect \frac{t}{T} $. Ho risolto la convoluzione ed ho ottenuto $ A^{2} tri \frac {t}{T} $
3) dopo aver già fatto il calcolo della convoluzione mi sono ricordata che potevo applicare la proprietà della convoluzione quindi ho ottenuto $ e_x (t) = F[ [x(-t)]^{\ast} ] F [ A^{2} rect \frac{t}{T} \ast rect \frac{t}{T} ] $ dove F è la trasformata di Fourier. Risolvendo ottengo $ A^{2} [sinc (fT)]^{2} $
il risultato dovrebbe essere $ A^{2}T tri \frac {t}{T} $ E non lo ottengo in nessun modo
Risposte
Ti imposto i calcoli:
\(\left\{\begin{matrix}
\int_{-\frac{T}{2}}^{\tau +\frac{T}{2}}A^{2}dt &-T\leq \tau <0 \\
\int_{\tau -\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}A^{2}dt & 0\leq \tau
Di solito si risolvono graficamente questi esercizi e non applicando
la definizione in maniera rigida, dovresti provare è divertente
\(\left\{\begin{matrix}
\int_{-\frac{T}{2}}^{\tau +\frac{T}{2}}A^{2}dt &-T\leq \tau <0 \\
\int_{\tau -\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}A^{2}dt & 0\leq \tau
Di solito si risolvono graficamente questi esercizi e non applicando
la definizione in maniera rigida, dovresti provare è divertente
Dunque , sono riuscita a risolverlo 
. prima di tutto ho calcolato $ E_x(f) = | F x(t) |^{2} $ , cioe’ la densità spettrale dell’energia , ed ho ottenuto che $ E_x = A^{2} T^{2} ( sinc fT)^{2} $ adesso antitrasformo il risultato ottenuto è ottengo che $ e_x(t) = A^{2} T tri ( \frac {t}{T} ) $ il risultato è corretto ed il procedimento è lo stesso svolto dal mio libro. PERÒ adesso vorrei capire anche il tuo modo , mi sono un po’ persa negli estremi dell’integrale
. prima di tutto ho calcolato $ E_x(f) = | F x(t) |^{2} $ , cioe’ la densità spettrale dell’energia , ed ho ottenuto che $ E_x = A^{2} T^{2} ( sinc fT)^{2} $ adesso antitrasformo il risultato ottenuto è ottengo che $ e_x(t) = A^{2} T tri ( \frac {t}{T} ) $ il risultato è corretto ed il procedimento è lo stesso svolto dal mio libro. PERÒ adesso vorrei capire anche il tuo modo , mi sono un po’ persa negli estremi dell’integrale
"enna":
PERÒ adesso vorrei capire anche il tuo modo , mi sono un po’ persa negli estremi dell’integrale
Non è propriamente il mio modo.
E' il metodo grafico standard, molto comodo e divertente...
Per mostrartelo dovrei fare qualche grafico, quando ho un pò di tempo faccio uno schizzo
In pratica si tratta di far scorrere una funzione sotto l'altra, moltiplicarle e calcolare
l'integrale.
Nel primo caso le due funzioni si sovrappongono tra $-T/2$ (funzione rossa)
e $\tau +T/2$ (funzione blu)
Questi saranno gli estremi del tuo integrale
Moltiplico ( $A^2$ ) e integro
Proseguo facendo scorrere la funzione blu sotto quella rossa.
Adesso le 2 funzioni si sovrappongono tra $\tau -T/2$ (funzione blu)
e $T/2$ (funzione rossa), e questi di nuovo saranno i tuoi estremi integrazione
Abbiamo finito , 2 senplici integrali e hai la soluzione
l'integrale.
Nel primo caso le due funzioni si sovrappongono tra $-T/2$ (funzione rossa)
e $\tau +T/2$ (funzione blu)
Questi saranno gli estremi del tuo integrale
Moltiplico ( $A^2$ ) e integro
Proseguo facendo scorrere la funzione blu sotto quella rossa.
Adesso le 2 funzioni si sovrappongono tra $\tau -T/2$ (funzione blu)
e $T/2$ (funzione rossa), e questi di nuovo saranno i tuoi estremi integrazione
Abbiamo finito , 2 senplici integrali e hai la soluzione
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