Approssimazione misteriosa

[Petruccioli1]

ciao a tutti,

tra i miei apputi mi ritrovo la seguente approssimazione che non capisco:

$\1/(1-omega^2/omega_0^2)~=(1+omega^2/omega_0^2)$

che dovrebbe (secondo la notazione che ho riportato) essere lo sviluppo in serie fermato al 1° ordine di
$\(1-x)^-1$

proprio non la capisco questa approssimazione ...

grazie per eventuale aiuto

[ELWOOD1]

Sembra che abbia sommato sia al denominatore che al numeratore $\omega^2$ ma non mi sembra un'approssimazione tanto corretta. In che contesto è questa formula?

[Petruccioli1]

...a questo punto la scrivo per esteso anche perchè in realtà c'è anche un'altra approssimazione che mi è altrettanto oscura; infatti, premesso che il prof ha detto che stiamo supponendo $\omega<$$\
$\n=sqrt(1+k/(omega_0^2-omega^2))~=1+(k/2)/(omega_0^2-omega^2)=1+k/(2omega_0^2)1/(1-omega^2/omega_0^2)~=1+k/(2omega_0^2)(1+omega^2/omega_0^2)$

ammeso che il fatto che $\omega<$$\
eppure non penso di aver scritto male perchè ho la registrazione dove il prof riprende tutti i passaggi...quindi bho

[Petruccioli1]

dimenticavo: n è un indice di rifrazione

[elgiovo]

Non c'è niente di sbagliato: nella prima approssimazione ha usato

\(\displaystyle \sqrt{1+x} \approx 1+x/2 \)

che ti dà il 2 al denominatore. Nella seconda invece usa

\(\displaystyle \frac{1}{1-x} \approx 1+x \)

si vabè, dev'essere |x|<1 per la validità (ma anche nella prima approssimazione).

[Petruccioli1]

ma queste approssimazioni hanno anche una "dimostrazione"? nel senso, da cosa si deducono ??

[elgiovo]

Se vuoi puoi divertirti a dimostrarle, però sappi che qualcuno l'ha già fatto per te.

[Petruccioli1]

quindi se ho ben capito le funzioni approssimanti sono gli sviluppi di taylor centrati in zero fermati alla derivata prima...dove abbiamo supposto che $\k/(omega_0^2-omega^2)$ sia molto prossimo a zero, come anche $\omega^2/omega_0^2$... ok si adesso è chiaro, grazie elgiovo