Anti trasformata di Fourier
Devo trovare la anti trasformata di Fourier $ Y(f)= \frac{T \delta (f) }{2} + \frac{T}{1 + (i w T )( i w ) $ ma ottengo $ y(t)= T u(t) [ 1+ e^{\frac{-t}{T} } ] $ quando il risultato corretto dovrebbe essere $ y(t) = T u(t) [ 1 - e^{\frac{-t}{T} } ] $ . Dopo aver raccolto la T $ F^{-1} Y(f) = T [ \frac{ \delta (f) }{2} + \frac{1}{1 + (i w T )( i w )] $ Arrivo al mio risultato sapendo che la trasformata di $ u(t) $ è $ \frac{1}{2} \delta(f) + \frac{1}{iw} $ E che la trasformata di $ e^{-at}u(t) $ è $ \frac{1}{a + iw } $ Le regole che ho applicato sono quelle che ho studiato sul mio libro ma sicuramente faccio errori nell’applicazione. Ho provato a rifarlo più volte e credo di dover applicare una scomposizione su $ \frac{ 1 } {1 + (i w T)(i w ) } $ ma non ho idea Di come farlo correttamente 
Grazie mille
Grazie mille
Risposte
Quella funzione da antitrasformare è scritta male, prova cosi:
\(\frac{T}{2}\delta \left ( f \right )+\frac{T}{\left ( 1+j\omega T \right )\left ( j\omega \right )}\)
Ad ogni modo non vedo il motivo di usare la variabile $f$ insieme alla variabile $\omega$.
Si crea solo confusione,quindi riscrivendo tutto nella variabile $\omega$:
\(\pi T\delta \left ( \omega \right )+\frac{T}{\left ( 1+j\omega T \right )\left ( j\omega \right )}\)
\(\frac{T}{2}\delta \left ( f \right )+\frac{T}{\left ( 1+j\omega T \right )\left ( j\omega \right )}\)
Ad ogni modo non vedo il motivo di usare la variabile $f$ insieme alla variabile $\omega$.
Si crea solo confusione,quindi riscrivendo tutto nella variabile $\omega$:
\(\pi T\delta \left ( \omega \right )+\frac{T}{\left ( 1+j\omega T \right )\left ( j\omega \right )}\)
Avevo scritto il testo in modo sbagliato.. applicando la sostituzione in w arrivo al punto $ Y(f) = T [\pi \delta (w) + \frac{1}{(1+ iwT) } \frac{1}{(iw)} $ però ora non so come comportarmi nell’utilizzare le due trasformate notevoli. So che devo applicare quelle che ho scritto sopra ma in questo caso sono ‘incastrate’ tra loro e non capisco come separarle. Spero che si sia capito cosa voglio dire 
Ho provato a scomporre $ \frac{1}{ (1 + iwT)(iw) } $ in frazioni parziali quindi ho fatto questo passaggi:
$ \frac{1}{ (1 + iwT)(iw) } = \frac{A(f)}{1+iwT} + \frac{B(f)}{iw} $
Inoltre $ A(f)(iw) + B(f)(1+ iwT ) = 1$
Da qui ottengo che $ A(f)=1 $ e $ B(f)=0$
Ammesso che il ragionamento che ho fatto sia corretto ora ho $ Y(f) = T [ \pi \delta (w) + \frac{1}{1+ iwT} ]$
Come te la cavi con il calcolo dei poli e residui ?
Moltiplico:
\(\frac{T}{\left ( 1+j\omega T \right )\left ( j\omega \right )}=\frac{T}{j\omega -T\omega ^{2}}\)
La riscrivo in questa maniera:
\(\frac{1}{s^{2}+s\frac{1}{T}}\)
$s=j\omega$
Trovo i poli del denominatore :
\(p_{1,2}=0,-\frac{1}{T}\)
Adesso si tratta di giocare on i residui
\(\frac{1}{s^{2}+s\frac{1}{T}}=\frac{1}{\left ( s-p_{1} \right )\left ( s-p_{2} \right )}=\frac{A}{s-p_{1}}+\frac{B}{s-p_{2}}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+\frac{1}{T}}\)
\(\left.\begin{matrix}
A=\frac{1}{s-p_{2}}
\end{matrix}\right|_{s=p_{1}}=\frac{1}{0+\frac{1}{T}}=T\)
\(\left.\begin{matrix}
B=\frac{1}{s-p_{1}}
\end{matrix}\right|_{s=p_{2}}=\frac{1}{-\frac{1}{T}-0}=-T\)
Bene sostituiamo:
\(\frac{T}{s}-\frac{T}{s+\frac{1}{T}}\)
Adesso lo riscrivo con $j\omega$:
\(-j\frac{T}{\omega }-\frac{T}{\frac{1}{T}+j\omega }\)
Finito
Moltiplico:
\(\frac{T}{\left ( 1+j\omega T \right )\left ( j\omega \right )}=\frac{T}{j\omega -T\omega ^{2}}\)
La riscrivo in questa maniera:
\(\frac{1}{s^{2}+s\frac{1}{T}}\)
$s=j\omega$
Trovo i poli del denominatore :
\(p_{1,2}=0,-\frac{1}{T}\)
Adesso si tratta di giocare on i residui
\(\frac{1}{s^{2}+s\frac{1}{T}}=\frac{1}{\left ( s-p_{1} \right )\left ( s-p_{2} \right )}=\frac{A}{s-p_{1}}+\frac{B}{s-p_{2}}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+\frac{1}{T}}\)
\(\left.\begin{matrix}
A=\frac{1}{s-p_{2}}
\end{matrix}\right|_{s=p_{1}}=\frac{1}{0+\frac{1}{T}}=T\)
\(\left.\begin{matrix}
B=\frac{1}{s-p_{1}}
\end{matrix}\right|_{s=p_{2}}=\frac{1}{-\frac{1}{T}-0}=-T\)
Bene sostituiamo:
\(\frac{T}{s}-\frac{T}{s+\frac{1}{T}}\)
Adesso lo riscrivo con $j\omega$:
\(-j\frac{T}{\omega }-\frac{T}{\frac{1}{T}+j\omega }\)
Finito
Grazie mille !!!!!!!! ora mi torna tutto perfettamente !!!! Quando sei arrivato ai residui ho dovuto rispolverare il mio libro di automazione perché anche se l’esame l’ho passato , e’ stato molto tempo fa 
l’unica cosa che ho ‘cambiato’ e’ stato il modo per trovare A e B , ho utilizzato questa formula che nei miei vecchi appunti era una specie di Bibbia $ \frac{m(f)}{p(f) q(f) } = \frac{A(f)}{p(f)}+ \frac{B(f)}{q(f)} $ dove $ m(f) = A(f)q(f) + B(f)p(f) $. Grazie mille davvero anche stavolta ! anche se probabilmente non sembra comincio a capirci qualcosa e qualche esercizio riesco a risolverlo senza rompervi le scatole 
l’unica cosa che ho ‘cambiato’ e’ stato il modo per trovare A e B , ho utilizzato questa formula che nei miei vecchi appunti era una specie di Bibbia $ \frac{m(f)}{p(f) q(f) } = \frac{A(f)}{p(f)}+ \frac{B(f)}{q(f)} $ dove $ m(f) = A(f)q(f) + B(f)p(f) $. Grazie mille davvero anche stavolta ! anche se probabilmente non sembra comincio a capirci qualcosa e qualche esercizio riesco a risolverlo senza rompervi le scatole
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