[RISOLTO][MatLab] Aiuto con Esercizio Esame Matlab.

[Nemesis89™1]

Salve a tutti ragazzi....
Avrei bisogno di aiuto per poter risolvere questo esercizio con Matlab, e dato che riesco a malapena iniziare chiedo a voi se potete darmi una mano
E' un esercizio di esame di Calcolo scientifico......
Ecco qui vi linko l'esercizio, l'ho fotografato.
Praticamente va svolto su Matlab e poi vanno riportare i punti richiesti dall'esercizio...Sapete aiutarmi?


1 parte : https://www.dropbox.com/s/jlrlyvkzw2u1j ... 115501.jpg
2 parte : https://www.dropbox.com/s/4jnzgz4amh5bf ... 115514.jpg

[vict85]

Ti invito a dare un'occhiata all'articolo 1.4 del regolamento di questo forum.

Comunque il primo punto è un esercizio di analisi 1. Dovresti prendere le varie formule di errore delle varie formule e comparare l'errore cercando quella che fornisce sufficienti cifre alla complessità minore.

[Nemesis89™1]

Grazie.

Allora questi argomenti in Analisi uno mai visti e fatti, sono delle funzioni particolari che vengono implementate su MATLAB.
Sono le formule di quadratura newton-cotes.
Mai fatte ne ad analisi 1 , ne ad analisi 2, tra l'laltro ogni funzione è già predisposta , è solo da richiamare e da verificare i risultati.

Credimi lo sforzo da parte mia c'è, ma non so cosa diamine scrivere come risposta per ogni punto, oltre a riportare le istruzioni matlab utilizzate, ci sono delle linee guide per usare ogni metodo di quadratura, sicuramente, ma non riesco a ad arrivare alla soluzione

[vict85]

La mia considerazione su analisi uno era legata al numero di derivate continue che possedeva e non al metodo. Il libro avrà le formule di errore per ogni metodo. Devi applicare quelle con la condizione di errore < 10^{-6}.

Al di là del metodo da trovare, una volta che determini il metodo lo sapresti implementare in matlab?

[apatriarca]

Iniziamo dal primo punto.. Quante derivate continue ha la funzione integranda? Che cosa sai della relazione tra la funzione integrale che devi calcolare e la funzione integranda? Se sai rispondere a queste due domande il primo punto non dovrebbe essere un problema.

Per quanto riguarda la quadratura "più adatta"... Si tratta in un certo senso di trovare il minor numero di punti necessario per ottenere l'errore che ti interessa. Nota che per rispondere a questa domanda hai bisogno di studiare la funzione f e le sue derivate.

[Nemesis89™1]

Ho riportato tutto al mes di sotto questo mes doppio potete cancellarlo

[Nemesis89™1]

Eccomi qua...allora vi scrivo dove sono arrivato, poi oggi comunque vado dalla Prof a ricevimento.

%1° QUESITO :

%QUANTE DERIVATE CONTINUE HA LA FUNZIONE NELL'INTERVALLO DI INTEGRAZIONE?
Ho scritto : La funzione è dotata di derivata 4, ma c'è qualcos'altro che non ho ben capiti come fare , vi faccio un esempio, su quest'integrale con intervallo da 4 a 16 : [1/sqrt(x)] , la prof scrive che : La funzione è dotata di derivata quarta continua. Si ha f^(4)(x)=105/16 x^(-9/2).
Come cavolo se lo trova questo valore???

%2° QUESITO :

%QUALE FORUMA DI QUADRATURA AVETE SCELTO?
%Ho scritto quanto segue : La formula usata è quella di Cavalieri-Simpson.
%Le istruzioni sono le seguenti : [int]= simpson(a,b,m,f)
con questa chiamata, vado a richiamare la funzione simpson!!!Ora ve la riporto :
[spoiler]

% Function che implementa la formula composita di Cavalieri-Simpson
% in input gli estremi a,b dell'intervallo di integrazione,
% fun = la funzione integranda
% m = numero di intervallini necessario
function [int] = simpson(a,b,m,fun)
	h = (b-a)/m;
	x = a:h/2:b; % contiene 2m+1 elementi
	y = fun(x);
	sum1 = sum(y(2:2:2*m));
	sum2 = sum(y(3:2:2*m-1));
	int = h/6*(y(1)+y(2*m+1)+4*sum1+2*sum2);
end

% numero valutazioni = 2*m + 1
% grado di esattezza = 3

[/spoiler]

%3 MOTIVARE LA SCELTA

%L'ho usata poiché la funzione appartiene
% a C_inf e quindi è derivabile fino alla derivata quarta, quindi l'unica formula utilizzabile
% in questo caso è quella di Simpson. Se avessimo avuto funzioni appartenenti a C3,C2 o C1
% avremmo potuto utilizzare anche la formula dei Trapezi, Rettangoli o del Punto Medio però
% in quei casi usando Simpson avremmo avuto comunque un'approssimazione migliore.

%4 QUAL'è LA STIMA TEORICA?

Ecco qui non so cosa riportare

%5° QUESITO:

%CHE VALORE DI M SI RICAVA?
%il numero di intervallini lo ricavo dalla formula composità
%cavalieri-simpson --> toll <= (1/288)*((b-a)/n)^(2) * (b-a)
%toll = 0.5e-006
%m = (1/288*((b-a)^5/toll))^(1/4)

%6° QUESITO:

%RIPORTARE IL VALORE CALCOLATO:
%Il valore calcolato tramite la formula utilizzata è int =
%5,714960249355749e+000
%il valore di m approssimato con la funzione ceil è 439

Suggerimenti?

[vict85]

"Nemesis89™":%QUANTE DERIVATE CONTINUE HA LA FUNZIONE NELL'INTERVALLO DI INTEGRAZIONE?
Ho scritto : La funzione è dotata di derivata 4, ma c'è qualcos'altro che non ho ben capiti come fare , vi faccio un esempio, su quest'integrale con intervallo da 4 a 16 : [1/sqrt(x)] , la prof scrive che : La funzione è dotata di derivata quarta continua. Si ha f^(4)(x)=105/16 x^(-9/2).
Come cavolo se lo trova questo valore???

Calcolando...
\(\displaystyle f = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac12} \)
\(\displaystyle f^{(1)} = -\frac12 x^{-\frac12-1} = -\frac12 x^{-\frac32} = -\frac{1}{2\sqrt{x^3}} \)
\(\displaystyle f^{(2)} = \frac34 x^{-\frac32-1} = \frac34 x^{-\frac52} = = \frac{3}{4\sqrt{x^5}} \)

Ora è evidente che si ha \(\displaystyle f^{(i)} = (-1)^i \frac{1\cdot 3 \dotsm (2i +1)}{2^i} \frac{1}{\sqrt{x^{2i + 1}}} \)

[Nemesis89™1]

Risolto tutto...Sono andato a ricevimento dalla prof per un'ultima incertezza.
Grazie a tutti!!

@Vic : si sbagliavo io nel fare la derivata con wolfram, per mia pigrizia di evitare di farla a mano...
Comunque sia ho risolto!! grazie

Ecco la soluzione a cui sono arrivato :

%1° QUESITO :
%QUANTE DERIVATE CONTINUE HA LA FUNZIONE NELL'INTERVALLO DI INTEGRAZIONE?
%La funzione è dotata di derivata 4 continua.

%2° QUESITO :
%QUALE FORUMA DI QUADRATURA AVETE SCELTO?
%La formula usata è quella di Cavalieri-Simpson che ho già implementato a parte.
%[int]= simpson(a,b,m,f)


%3° QUESITO :
%MOTIVARE LA SCELTA:
%L'ho usata poiché la funzione appartiene
% a C_inf e quindi è derivabile fino alla derivata quarta, quindi l'unica formula utilizzabile
% in questo caso è quella di Simpson. Se avessimo avuto funzioni appartenenti a C3,C2 o C1
% avremmo potuto utilizzare anche la formula dei Trapezi, Rettangoli o del Punto Medio però
% in quei casi usando Simpson avremmo avuto comunque un'approssimazione migliore.

%4° QUAL'è LA STIMA TEORICA?
%lo prendo dalla formule delle varie funzioni(cavalieri-trapezi etc)
%toll <= (1/288)*((b-a)/n)^(2) * (b-a)||f^4||
%valore di esattezza = 4

%5° QUESITO:
%CHE VALORE DI M SI RICAVA?
%il numero di intervallini lo ricavo dalla formula composità
%cavalieri-simpson --> toll <= (1/288)*((b-a)/n)^(2) * (b-a)||f^4||
%toll = 0.5e-006
% m = (288*64/toll)^1/4

%6° QUESITO:
%RIPORTARE IL VALORE CALCOLATO:
%Il valore calcolato tramite la formula utilizzata è int =
%5.764977065275105e+000
%il valore di m approssimato con la funzione ceil è 22

CODICE MATLAB:

clc
clear
format long e

%cifre dettati dalla traccia
toll = 0.5e-6;

%Intervallo dell'integrale
a = 0;
b = 2;
f = inline('((6.*x+x.^3).*abs(x-1/2).^(9/2))./(3+x)');


%Per disegnare la funzione E l'area della funzione :
x = linspace(a,b,100);
y = f(x);
figure(1)
plot(x,y)
figure(2)
area(x,y)
m = (1/288*((b-a)^5/toll))^(1/4)
m = ceil(m) % 22
[int] = simpson(a,b,m,f)

FUNZIONE SIMPSON UTILIZZATA

% Function che implementa la formula composita di Cavalieri-Simpson
% in input gli estremi a,b dell'intervallo di integrazione,
% fun = la funzione integranda
% m = numero di intervallini necessario
function [int] = simpson(a,b,m,fun)
	h = (b-a)/m;
	x = a:h/2:b; % contiene 2m+1 elementi
	y = fun(x);
	sum1 = sum(y(2:2:2*m));
	sum2 = sum(y(3:2:2*m-1));
	int = h/6*(y(1)+y(2*m+1)+4*sum1+2*sum2);
end

% numero valutazioni = 2*m + 1
% grado di esattezza = 3