[MatLab] Funzione Spline

[davicos]

Salve a tutti,

circa questo esercizio

Click sull'immagine per visualizzare l'originale

ho provato a fare una cosa del genere

a = 2;


for x=linspace(-1,0)
    f1 = x.^2 + 1;
    for x=linspace(0.1,1)
        f2 = -x.^3 + a.*x.^2 + 1;
    end
end

ma non credo sia corretto e infatti non saprei proprio cos'altro fare..

Qualche suggerimento?
Grazie!

[apatriarca]

L'esercizio non sembra richiedere la scrittura di alcun codice. Che cosa rappresenta quel codice?

[davicos]

Volevo provare ad interpolare la funzione nei nodi $x$ e $y$ che vengono forniti inserendo i rispettivi valori della $a$ per provare. Allora come si risolve?

[insideworld]

hai gia una spline interpolante i dati assegnati dal problema, per ogni a.
Per verificarlo sostituisci nella prima equazione la coordinata x del punto, ovvero -1 e 0 e troverai i punti y=f(x) assegnati, idem per la seconda equazione, vedi che per x=0 ottieni 1 e per x=1 ottieni $y=f(x)=-(1)^3+a*1+1=-1+1+a=a$

[davicos]

Non ho capito.
Quando sostituisco $x=1$ nel secondo ramo ottengo solo $a$ ma come faccio a capire che valore deve assumere la costante?
Si tenga presente che la soluzione proposta è "per $a=1$"..

[apatriarca]

Che definizione ti è stata data per "spline cubica interpolante"? La funzione passa correttamente attraverso quei punti ed è certamente di grado <=3. Sarebbe utile capire quali altre condizioni sono richieste.

[davicos]

Vediamo se ho capito..

La definizione vuole che:

1) è un polinomio di grado al più $d$ (in questo caso tre) per un certo intervallo;

2) la derivata ennesima fino a $d-1$ è continua nell'intervallo;

3) $S(x_i) = y_i $ per $i = 1, .. , n+1$; ( $S$ sta per spline)

Lasciando perdere tecnicismi per scrivere le cose più importanti..
1) è verificata, la 3) è conseguenza della 2) (quindi non si può verificare senza aver verificato la 2) ). Pertanto l'ho verificata:

2)

$ f^{\prime} = { ( 2x ),( -3x^2+2ax ):} $ e la calcolo per $x=0$ (punto critico, di "saldatura") ma per adesso per qualsiasi $a$ non ci sono problemi, è comunque zero. Continuo..

$ f^('') = { ( 2 ),( -6x+2a ):} $ e per $x=0$ occorre che $a$ valga $1$..


Corretto??

[apatriarca]

Sì, corretto. Il terzo punto non dipende dal due, bastava verificare che la funzione passasse per quei punti (condizione verificata per ogni valore di a).

[davicos]

Ah ok. Bene grazie!