Esercizio Pumping Lemma

[One2]

Sia $L={www|w in {a,b}$*$}$ far vedere utilizzando il pumping lemma che non è un linguaggio regolare,io l'ho svolto così:
Sia la seguente stringa $s=ab^p ab^p ab^p$ scomponibile in $s=xyz$
1)Ponendo $y=b^p$ devo imporre che $x= \xi$ perchè deve risultare $|xy|<=p$ e $z=a ab^p ab^p$.Però in questo caso $xyz notin L$.
2)Se pongo $y=ab^p$ non và bene perchè risulta che $|xy|>p$.
3)Ponendo $y=ab^(p-1)$ devo porre $x= \xi$ e $z= b ab^p ab^p$ in questo caso $xyz in L$ ma $xz notin L$.

Mi potete dire se và bene svolto così?

[vladIII1]

Ciao, proverò a darti il mio contributo da studente:

1) Non puoi porre $x = \xi$ se scegli $y = b^p$ perchè in questo caso $xy != w$ dato che hai fissato $w = ab^p$.
2) Non fa una piega
3) Non mi sembra una dimostrazione generale. Dobbiamo dimostrare che $\forall s = xyz$ con $|xy| <= p$ riusciamo a trovare un esponente k per y tale che $xy^kz notin L$.
Quindi i casi che abbiamo sono:
1) $x = \xi$, $y = a$, $z = b^pab^pab^p$.
In questo caso per k = 0, 1, $xy^kz \epsilon L$ mentre per qualunque k > 1 no.

2)Scegliamo $r < p$ e prendiamo $y = b^r$.
Da qua penso che sia abbastanza semplice terminare la dimostrazione.

[vladIII1]

Forse però è più semplice se si sceglie una stringa del tipo $s = www$ con $w = a^pb^p$ così che $y$ sia sempre un numero arbitrario di $a$.