Campionamento (reti di telecomunicazioni)
Salve a tutti, nella materia che ho citato tra parentesi nel titolo del topic, oggi abbiamo iniziato questo argomento, solo che ahimè mi sono già sorti dei dubbi: ho capito che si usa per trasformare un segnale analogico continuo in uno digitale discreto valutando ad intervalli regolari il valore della funzione di partenza.
E fin qui è tutto chiaro, ma avrei delle domande a cui non ho trovato risposta:
1) cosa mi rappresenta la funzione w(t) = SOMME PER N DA -INFINITO A +INFINITO DI
a(n) x sin(pi*fs(t-n/fs)) / pi*fs(t-n/fs), dove fs è la frequenza di campionamento?
2) come si giunge dalla mia funzione di partenza "irregolare", di cui valuto punti ad intervalli regolari (quindi ottenendo ampiezze diverse se immagino di tracciare delle sinusoidi comuni con punto di massimo in questi punti) a quella sinusoide più ampia nell'origine e via via sempre più piccola?
Grazie!
E fin qui è tutto chiaro, ma avrei delle domande a cui non ho trovato risposta:
1) cosa mi rappresenta la funzione w(t) = SOMME PER N DA -INFINITO A +INFINITO DI
a(n) x sin(pi*fs(t-n/fs)) / pi*fs(t-n/fs), dove fs è la frequenza di campionamento?
2) come si giunge dalla mia funzione di partenza "irregolare", di cui valuto punti ad intervalli regolari (quindi ottenendo ampiezze diverse se immagino di tracciare delle sinusoidi comuni con punto di massimo in questi punti) a quella sinusoide più ampia nell'origine e via via sempre più piccola?
Grazie!
Risposte
Ho fatto questo esame da diverso tempo e dovrei andare a riguardarmi i libri. Quella formula direi potrebbe rappresentare la trasformata di Fourier della somma infinita di rettangoli di altezza uguale ad a(n) e larghezza uguale alla frequenza di campionamento ( \(\sin(\pi\,x)/(\pi\,x)\) prende il nome di funzione sinc ed è abbastanza importante in analisi dei segnali ). Nota che quando si campiona si suppone normalmente di avere a che fare con, a seconda di cosa sia più comodo, una successione di delta di Dirac o di rettangoli. Non ho capito quindi la tua seconda domanda riguardo alle sinusoidi.
Non è facile capire quello che chiedi
A prima vista avete dimostrato il teorema del campionamento di Nyquist-Shannon ma mi sembra che tu non abbia le idee molto chiare. Adesso facciamo incazzare un poco di gente con una spiegazione che non potrebbe essere più lontana dal'aggettivo rigorosa, ma che penso che sia di facilissima comprensione.
Hai un segnale (una funzione) $ v(t) $
Questo deve essere necessariamente limitato in banda (condizione richiesta dal teorema)
Cosa significa? Se osservi la sua trasformata, questa deve essere nulla da un certo punto in poi. Sia quindi $ f_m $ questo punto. Diciamo $ V(f)=0 AAf>f_m $
Prendi ora $ W(f) $ una funzione continua e periodica a banda non limitata. Questa la definiamo in modo che il suo periodo $ omega $ sia lungo almeno $ 2pif_m $ e che al suo interno (nel periodo) essa coincida esattamente a $ V(f) $. Se il suo periodo è più piccolo di $ 2pif_m $ puoi capire che non sarà abbastanza "lungo" da ricoprire tutta la funzione V(f). Questa è un'altra condizione necessaria per la validità del teorema. Si chiama $ f_N $ frequenza di Nyquist ed è esattamente il minimo valore con cui si può campionare un segnale che abbia frequenza massima $ f_m $. Che Dio possa perdonarmi, il periodo che scegli per $ W(f) $ è la frequenza con cui campioni il segnale di partenza nel dominio del tempo. Ma di tutto questo che ce ne facciamo?
Abbiamo già risposto alla tua domanda, la $ w(t) $ a cui tu cerchi di dare un significato è la trasformata inversa della $ W(f) $. Più precisamente essendo $ W(f) $ periodica la si esprime prima come serie di fourier e poi la si antitrasforma. Perchè è importante questa $ w(t) $?
Non è troppo difficile provare che in coefficienti di sviluppo in serie di questa funzione e che tu chiami $ a(n) $ non sono altro che l'insieme di campioni $ f(ndeltat) $ della funzione di partenza $ f(t) $ che tu volevfi campionare.
Questo dovrebbe anche rispondere alla seconda domanda:
Lo scopo di un teorema è provare qualcosa. Questo può sfuggire quando si parla di teorema del campionamento. Se lo guardi da un punto di vista matematico hai questo:
Grazie, ora so che sotto opportune condizioni questa equazione è valida. Nulla di più, vado a farmi un gelato.
Poi arriva un ingegnere e dice: se approssimo un segnale ad una funzione matematica e mi segno su un fogliettino di carta quanto vale ad intervalli di tempo che decido io, sarò poi in grado di ritornare alla funzione orignale partendo dal fogliettino di carta?
Questo teorema mi dice che è possibile farlo in teoria e sotto certe condizioni. Prendo il fogliettino e moltiplico ogni valore per
che poi chiamo filtro di ricostruzione.
Ed ecco che riottengo la funzione di partenza da un insieme di campioni. Infinite funzioni sinc pesate da infiniti campioni che ho raccolto in precedenza.
Matematicamente non si perde alcun tipo di informazione, e questa è una cosa che all'inizio è difficile accettare, il teorema è inattaccabile.
L'argomento a mio parere è molto affascinante, ma bisogna avere una buona padronanza della serie e della trasformata di fourier per apprezzarlo, per lo meno a livello concettuale.
Nella pratica non è mai possibile tornare esattamente al segnale di partenza. Non si riesce mai a raccogliere dei campioni con una precisione infinita, inoltre il filtro di ricostruzione, la funzione sinc per capirci, è possibile approssimarla con un sistema fisico fatto di resistenze induttori e condensatori, che non è mai perfetto.
Le implicazioni di tutto ciò sono alla base della nostra potenza tecnologica.
A prima vista avete dimostrato il teorema del campionamento di Nyquist-Shannon ma mi sembra che tu non abbia le idee molto chiare. Adesso facciamo incazzare un poco di gente con una spiegazione che non potrebbe essere più lontana dal'aggettivo rigorosa, ma che penso che sia di facilissima comprensione.
Hai un segnale (una funzione) $ v(t) $
Questo deve essere necessariamente limitato in banda (condizione richiesta dal teorema)
Cosa significa? Se osservi la sua trasformata, questa deve essere nulla da un certo punto in poi. Sia quindi $ f_m $ questo punto. Diciamo $ V(f)=0 AAf>f_m $
Prendi ora $ W(f) $ una funzione continua e periodica a banda non limitata. Questa la definiamo in modo che il suo periodo $ omega $ sia lungo almeno $ 2pif_m $ e che al suo interno (nel periodo) essa coincida esattamente a $ V(f) $. Se il suo periodo è più piccolo di $ 2pif_m $ puoi capire che non sarà abbastanza "lungo" da ricoprire tutta la funzione V(f). Questa è un'altra condizione necessaria per la validità del teorema. Si chiama $ f_N $ frequenza di Nyquist ed è esattamente il minimo valore con cui si può campionare un segnale che abbia frequenza massima $ f_m $. Che Dio possa perdonarmi, il periodo che scegli per $ W(f) $ è la frequenza con cui campioni il segnale di partenza nel dominio del tempo. Ma di tutto questo che ce ne facciamo?
Abbiamo già risposto alla tua domanda, la $ w(t) $ a cui tu cerchi di dare un significato è la trasformata inversa della $ W(f) $. Più precisamente essendo $ W(f) $ periodica la si esprime prima come serie di fourier e poi la si antitrasforma. Perchè è importante questa $ w(t) $?
Non è troppo difficile provare che in coefficienti di sviluppo in serie di questa funzione e che tu chiami $ a(n) $ non sono altro che l'insieme di campioni $ f(ndeltat) $ della funzione di partenza $ f(t) $ che tu volevfi campionare.
Questo dovrebbe anche rispondere alla seconda domanda:
Lo scopo di un teorema è provare qualcosa. Questo può sfuggire quando si parla di teorema del campionamento. Se lo guardi da un punto di vista matematico hai questo:
Grazie, ora so che sotto opportune condizioni questa equazione è valida. Nulla di più, vado a farmi un gelato.
Poi arriva un ingegnere e dice: se approssimo un segnale ad una funzione matematica e mi segno su un fogliettino di carta quanto vale ad intervalli di tempo che decido io, sarò poi in grado di ritornare alla funzione orignale partendo dal fogliettino di carta?
Questo teorema mi dice che è possibile farlo in teoria e sotto certe condizioni. Prendo il fogliettino e moltiplico ogni valore per
che poi chiamo filtro di ricostruzione.
Ed ecco che riottengo la funzione di partenza da un insieme di campioni. Infinite funzioni sinc pesate da infiniti campioni che ho raccolto in precedenza.
Matematicamente non si perde alcun tipo di informazione, e questa è una cosa che all'inizio è difficile accettare, il teorema è inattaccabile.
L'argomento a mio parere è molto affascinante, ma bisogna avere una buona padronanza della serie e della trasformata di fourier per apprezzarlo, per lo meno a livello concettuale.
Nella pratica non è mai possibile tornare esattamente al segnale di partenza. Non si riesce mai a raccogliere dei campioni con una precisione infinita, inoltre il filtro di ricostruzione, la funzione sinc per capirci, è possibile approssimarla con un sistema fisico fatto di resistenze induttori e condensatori, che non è mai perfetto.
Le implicazioni di tutto ciò sono alla base della nostra potenza tecnologica.
Di fatto il problema di riottenere il segnale di partenza ha più che altro un significato teorico che pratico. Di fatto ci sono diverse limitazioni a questo discorso:
1. Il segnale di partenza è raramente davvero limitato in frequenza. A volte la scelta della frequenza di campionamento deriva da altri fattori. Possiamo per esempio decidere che non siamo interessati a frequenze più alte di un certo valore, perché forse le consideriamo come rumore o forse non saremmo in grado di gestirle nel nostro sistema. Prendi ad esempio il caso del suono. Il nostro orecchio è per esempio in grado di farci sentire suoni solo tra i 20Hz e i 20kHz. Suoni di frequenza più alta esistono ma noi non saremmo comunque in grado di sentirli. Questa è la ragione per cui i 44kHz vennero decisi come frequenza di campionamento per i CD (nota che è anche la ragione per cui la recente moda di aumentare questa frequenza non porta alcun reale vantaggio).
2. A volte (credo nella maggior parte dei casi) i segnali non vengono mai ritrasformati in analogico.. Rimangono in digitale e così ce li teniamo. Questo genere di considerazioni sono comunque utili per comprendere alcune problematiche che si osservano quando il segnale che si vuole catturare ha una frequenza più alta del massimo che si può catturare con la nostra frequenza di campionamento. Per esempio si possono osservare problematiche di questo tipo con immagini..
Di fatto si sceglie spesso di inserire un filtro passa basso prima del campionamento in modo da ottenere un segnale che non dia problemi.
1. Il segnale di partenza è raramente davvero limitato in frequenza. A volte la scelta della frequenza di campionamento deriva da altri fattori. Possiamo per esempio decidere che non siamo interessati a frequenze più alte di un certo valore, perché forse le consideriamo come rumore o forse non saremmo in grado di gestirle nel nostro sistema. Prendi ad esempio il caso del suono. Il nostro orecchio è per esempio in grado di farci sentire suoni solo tra i 20Hz e i 20kHz. Suoni di frequenza più alta esistono ma noi non saremmo comunque in grado di sentirli. Questa è la ragione per cui i 44kHz vennero decisi come frequenza di campionamento per i CD (nota che è anche la ragione per cui la recente moda di aumentare questa frequenza non porta alcun reale vantaggio).
2. A volte (credo nella maggior parte dei casi) i segnali non vengono mai ritrasformati in analogico.. Rimangono in digitale e così ce li teniamo. Questo genere di considerazioni sono comunque utili per comprendere alcune problematiche che si osservano quando il segnale che si vuole catturare ha una frequenza più alta del massimo che si può catturare con la nostra frequenza di campionamento. Per esempio si possono osservare problematiche di questo tipo con immagini..
Di fatto si sceglie spesso di inserire un filtro passa basso prima del campionamento in modo da ottenere un segnale che non dia problemi.
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