X compatto => Y (chiuso di X) è compatto

[5mrkv]

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$1.$Come si dimostra questo teorema? Innanzitutto non mi è ben chiara la definizione di compattezza per uno spazio topologico. Sia $(X, \tau )$ uno spazio topologico. Se dalla famiglia di insiemi aperti che costituisce la topologia esiste una copertura per $X$, ovvero $\R={O_i; i \in I}$ (dove $I$ è l'insieme degli indici) tale che $X= \bigcup_{i \in I} O_i$, e se da questa copertura è possibile estrarre uno sottocopertura, ovvero prendere un insieme $R_1 \subseteq \R$ che costituisca ancora una copertura allora $X$ è detto compatto e $(X, \tau )$ è detto spazio topologico compatto. Ora, se ho un insieme del tipo $X={a, b, c, d, e}$ e definisco la topologia discreta dell'insieme delle parti $\tau =P(X)$, come faccio a dimostrare la compattezza per $(X, \tau )$? Le famiglie di insiemi che costituiscono un ricoprimento dovranno per forza contenere tutti gli elementi di $X$ dato che vi appartengono e lo ricoprono, quindi l'importante è che non contengano gli stessi insiemi. Quindi sia $R={X}$ che $R_1={{a,b},{c,d},{e}}$ (per fare un esempio) sono sia ricoprimenti che sottoricoprimenti uno dell'altro? E sono entrambi finiti. Dovrebbe seguire che $(X, \tau )$ è compatto. Quindi per un sostegno $X$ finito la compattezza si riduce alla ricerca di un ricoprimento diverso da $R={X}$, e per un generico insieme si riduce alla ricerca di due ricoprimenti finiti e distinti. O no?

$2.$Veniamo al titolo, che è la parte che mi interessa di più. Se ho uno spazio topologico $(X, \tau )$ compatto, allora ogni sottoinsieme chiuso è anche compatto. La dimostrazione dovrebbe assomigliare alle righe seguenti. Sarei cuorioso anche di sapere la mappa logica della dimostrazione perché in questi casi non mi è proprio immediata la comprensione.
$a.$ $X$ è compatto, allora esiste anche un ricoprimento finito.
$b.$ $C\subseteq X$ è un chiuso.
$c.$ $\exists \R={O_i; i \in I}$ ricoprimento finito di aperti per $C$. (come faccio a sapere che esiste, ipotizzo?)
$d.$ $A=X\\C$ è un aperto.
$e.$ $X=( \bigcup_{i \in I} O_i) \cup (A)$ costituisce un ricoprimento finito per $X$.
$f.$ Estraendo $A$ dal precedente ottengo un sottoricoprimento finito per $C$
E' corretta? Perché è possibile che debba esporla.

[Paolo902]

Per il punto 1, ogni spazio topologico finito è compatto, indipendentemente dalla topologia che ci metti.

Per il punto 2, sia $X$ compatto. Piglia $C subset X$ chiuso. Allora $X setminus C$ è aperto. Considera un ricoprimento aperto di $C$, sia esso ${A_i}_{i \in J}$: se a questi aperti ci aggiungi $X setminus C$ ottieni un ricoprimento aperto di X dal quale, per l'ipotesi di compattezza, puoi estrarne un sottoricoprimento finito. Mettiamo che tale sottoricoprimento finito sia (senza rinumerare gli indici) $A_1, ldots , A_n$. Se è il caso, togli da questi $X setminus C$ e hai il tuo bel sottoricoprimento aperto finito di $C$, i.e. $C$ è compatto.

[5mrkv]

Ma dal punto primo, se definisco per il sostegno precedente la topologia banale $\{X,\emptyset \}$ quali sono i due ricoprimenti finiti che fanno di $X$ compatto? $\{X\}$ e $\{X,\emptyset\}$? Perché se così fosse ogni sostegno con la topologia banale sarebbe compatto. Cosa mi sfugge?

[dissonance]

"5mrkv":Perché se così fosse ogni sostegno con la topologia banale sarebbe compatto.

E questo è vero. Se esiste un solo possibile ricoprimento aperto, e questo è finito, allora evidentemente lo spazio è compatto.

P.S.: Sposto nella sezione di Geometria