X compatto e T2 allora è T4
Si provi che se uno spazio topologico $X$ è compatto e T2 allora è T4.
Io ho fatto così:
Siano $F$ e $G$ due chiusi disgiunti (che sono anche compatti poichè $X$ è compatto). Sia $x inF$ allora $AAyinG$ siccome $X$ è T2 e $xnotinG$ ( e quindi $x!=y$) $EEA_{x,y},B_{y}$ aperti disgiunti tali che $x inA_{x,y}$ e $yinB_{y}$. Per cui $uu_{yinG}(B_ynnG)$ è ricoprimento aperto di $G$ per cui $EEy_1,...,y_n$ tali che $GsubB_{y_1}uu...uuB_{y_n}=V_x$ aperto. Allora pongo $K_x=nn_{y=1}^{n}A_{x,y}$ aperto che contiene $x$ disgiunto da $V_x$. Ora si ha che $uu_{x inF}(K_xnnF)$ è ricoprimento aperto di $F$ per cui $EEx_1,...,x_m$ tali che $FsubK_{x_1}uu...uuK_{x_m}=U$ aperto. Ponendo allora $V=nn_{x=1}^{m}V_x$, abbiamo che $U$ e $V$ sono due aperti disgiunti tali che $FsubU$ e $GsubV$. Volevo sapere se non ci fossero errori, grazie.
Io ho fatto così:
Siano $F$ e $G$ due chiusi disgiunti (che sono anche compatti poichè $X$ è compatto). Sia $x inF$ allora $AAyinG$ siccome $X$ è T2 e $xnotinG$ ( e quindi $x!=y$) $EEA_{x,y},B_{y}$ aperti disgiunti tali che $x inA_{x,y}$ e $yinB_{y}$. Per cui $uu_{yinG}(B_ynnG)$ è ricoprimento aperto di $G$ per cui $EEy_1,...,y_n$ tali che $GsubB_{y_1}uu...uuB_{y_n}=V_x$ aperto. Allora pongo $K_x=nn_{y=1}^{n}A_{x,y}$ aperto che contiene $x$ disgiunto da $V_x$. Ora si ha che $uu_{x inF}(K_xnnF)$ è ricoprimento aperto di $F$ per cui $EEx_1,...,x_m$ tali che $FsubK_{x_1}uu...uuK_{x_m}=U$ aperto. Ponendo allora $V=nn_{x=1}^{m}V_x$, abbiamo che $U$ e $V$ sono due aperti disgiunti tali che $FsubU$ e $GsubV$. Volevo sapere se non ci fossero errori, grazie.
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