W e Z sottospazi di V dimostrare che W+Z è sottospazio di V

[O grande]

Buona giornata a tutti,
ho consultato vari testi nessuno fonisce la dimostrazione di tale teorema; due lo presentano
come esercizio al termine del capitolo, uno dà solo l'enunciato, altri due affermano di "lasciare
allo studioso la facile verifica".
Vi chiedo gentilmente una verifica alla mia dimostrazione:

Sia $V$ uno spazio vettoriale sul generico campo $K$ ; sia $W<=V$ e $Z<=V$ allora
$W+Z$$sube V$ è un sottospazio vettoriale di $V$.

definiamo $W+Z=$${ w+z $tale che$ w in W , z in Z}$ e si utilizza il I° criterio per cui
1) Verifichiamo che $0_V in W+Z$
dato che $0_V in W$ perchè per ipotesi $W<=V$
dato che $0_V in Z$ perchè per ipotesi $W<=Z$
inoltre $0_V$ lo possiamo scrivere come $0_V+0_V$ dove $0_V in W$ e $0_V in Z$ quindi il vettore nullo di $V$ lo abbiamo
scritto come somma di due vettori appartenenti rispettivamente a $W$ e $Z$, così che per definizione data di $W+Z$
$0_V in W+Z$.
2) Verifichiamo che $W+Z$ è chiuso rispetto alla somma di vettori.
Dati i vettori $x in W+Z$ e $y in W+Z$ per definizione del sottoinsieme $W+Z$ avremo
$x= w_1 + z_1$ e $y = w_2 + z_2$ con $w_1$ e $w_2$ $in$ $W$ e $z_1$ e $z_2$ $in$ $Z$
$x+y= (w_1+z_1) + (w_2+z_2)$ dato che vale la proprietà associativa per la somma di vettori possiamo scrivere:
$(w_1+w_2)+(z_1+z_2)$ ora $(w_1+w_2) in W$ perchè per ipotesi $W<=V$ e $(z_1+z_2) in Z$ perchè per ipotesi $W<=V$
ne consegue che abbiamo scritto la somma di $x$ e$y$ come somma di vettori di $W$ e $Z$ quindi il sottoinsieme $W+Z$ è chiuso rispetto alla somma vettoriale.
3) Verifichiamo che $W+Z$ è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare:
sia $\lambda in K$ sia $x in W+Z$ tale che $x = w + z$ con $w in W$ e $z in Z$ applico la moltiplicazione per uno scalare $\lambda x = $$\lambda ( w+z)$ per la proprietà associativa del prodotto per uno scalare ottengo $\lambda w + \lambda z$
$\lambda w in W$ perchè per ipotesi $W<=V$
$\lambda z in Z$ perchè per ipotesi $Z<=V$
Ne consegue che abbiamo scritto il vettore $\lambda x in W+Z$ come somma di vettori $\lambda w in W$ e $\lambda z in Z$ per cui $W+Z sube V$ risulta chiuso rispetto al prodotto per uno scalare.
Vista la verifica dei punti 1), 2) e 3) abbiamo che $W+Z <= V$

[cirasa]

Perfetto.