Volume Sfera con cilindro scavato
Ciao a tutti
un esercizio mio chiede di calcolare il volume di una sfera nella quale è stato scavato un cilindro
definisco $R$ il raggio della sfera, $a$ il raggio del cilindro
come in figura
definisco l'angolo $beta$ come l'angolo che si forma tra il raggio della sfera nel punto in cui tocca il bordo del cilindro e l'asse verticale
per calcolare il volume ovviamente calcolo [tex]V = \int_{V}dV[/tex]
per ovvie ragioni ho pensato di trasformare tutto in coordinate sferiche
per cui ricavo il determinate della matrice Jacocobiana della trasformazione [tex]\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} \rho \sin \varphi \cos \psi \\ \rho \sin \varphi \sin \psi \\ \rho \cos \varphi \end{pmatrix}[/tex]
che mi viene $det(J) = rho^2 sin varphi $
pertanto per trovare il volume calcolo
[tex]V = \iiint \rho^{2} \sin \varphi d\rho d\psi d\varphi[/tex]
però ho delle difficoltà a ricavare degli estremi di integrazione.
Mi spiego meglio, per quanto riguarda l'angolo di rotazione orizzontale gli estremi sono gli stessi del calcolo del volume di una sfera ovvero $0 \leq psi \leq 2 pi$
per quanto riguarda l'angolo di rotazione verticale le cose cambiano un po' infatti trovo che $beta \leq varphi \leq pi - beta$
dove
$beta = arcsin (a/R) $ pertanto $ arcsin (a/R) \leq varphi \leq pi - arcsin (a/R)$
il problema mi nasce quando devo trovare gli estremi di integrazione del raggio perchè in questo caso il raggio dipenderà dall'angolo $varphi$, ma non riesco a trovare una relazione che mi porti a dei calcoli sensati
potreste dirmi se il ragionamento che sto seguendo è corretto e darmi un suggerimento per gli estremi di integrazione di $rho$ ??
grazie mille
un esercizio mio chiede di calcolare il volume di una sfera nella quale è stato scavato un cilindro
definisco $R$ il raggio della sfera, $a$ il raggio del cilindro
come in figura
definisco l'angolo $beta$ come l'angolo che si forma tra il raggio della sfera nel punto in cui tocca il bordo del cilindro e l'asse verticale
per calcolare il volume ovviamente calcolo [tex]V = \int_{V}dV[/tex]
per ovvie ragioni ho pensato di trasformare tutto in coordinate sferiche
per cui ricavo il determinate della matrice Jacocobiana della trasformazione [tex]\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} \rho \sin \varphi \cos \psi \\ \rho \sin \varphi \sin \psi \\ \rho \cos \varphi \end{pmatrix}[/tex]
che mi viene $det(J) = rho^2 sin varphi $
pertanto per trovare il volume calcolo
[tex]V = \iiint \rho^{2} \sin \varphi d\rho d\psi d\varphi[/tex]
però ho delle difficoltà a ricavare degli estremi di integrazione.
Mi spiego meglio, per quanto riguarda l'angolo di rotazione orizzontale gli estremi sono gli stessi del calcolo del volume di una sfera ovvero $0 \leq psi \leq 2 pi$
per quanto riguarda l'angolo di rotazione verticale le cose cambiano un po' infatti trovo che $beta \leq varphi \leq pi - beta$
dove
$beta = arcsin (a/R) $ pertanto $ arcsin (a/R) \leq varphi \leq pi - arcsin (a/R)$
il problema mi nasce quando devo trovare gli estremi di integrazione del raggio perchè in questo caso il raggio dipenderà dall'angolo $varphi$, ma non riesco a trovare una relazione che mi porti a dei calcoli sensati
potreste dirmi se il ragionamento che sto seguendo è corretto e darmi un suggerimento per gli estremi di integrazione di $rho$ ??
grazie mille
Risposte
Il tuo problema non ha simmetria sferica, ma cilindrica... Conviene quindi portarsi in coordinate cilindriche invece che in quelle sferiche. Dopodiché potresti anche usare il teorema di Guldino.
Grazie mille per la risposta
seguendo il tuo ragionamento mi è venuto un ulteriore dubbio applicando il teorema di Guldino
Per prima cosa dato che ho bisogno della cartesiana coordinata $x_b$ del baricentro non credo che abbia senso far alcun cambio di coordinate o sbaglio?
ponendomi su piano $y=0$
applicando il teorema di Guldino ho
$V=alpha \cdot x_b \cdot A$ dove $alpha$ è l'angolo di rotazione (nel mio caso $2 pi$), e $A$ è l'area della superficie che ruota e $x_b$, come ho detto poco fa, è la coordinata $x$ del baricentro
la superficie $A$ la calcolo determinando l'area sottesa tra la circonferenza di equazione $x^2+z^2=R^2$ e la retta $z=a$, ricordando che $a$ è il raggio del cilindro, da cui [tex]z = \sqrt{R^{2} - x^{2}}[/tex]
quindi ho [tex]A = \iint dA = \int_{-R}^{R} \int_{a}^{\sqrt{R^{2} - x^{2}}} dz dx[/tex]
credo che fino a qui sia tutto a posto
per la coordinata del baricentro ho
[tex]x_{b} = \frac{ \iint x dxdz }{\iint dxdz}[/tex]
ma al denominatore non ho la stessa area che ho calcolato poco fa?
seguendo il tuo ragionamento mi è venuto un ulteriore dubbio applicando il teorema di Guldino
Per prima cosa dato che ho bisogno della cartesiana coordinata $x_b$ del baricentro non credo che abbia senso far alcun cambio di coordinate o sbaglio?
ponendomi su piano $y=0$
applicando il teorema di Guldino ho
$V=alpha \cdot x_b \cdot A$ dove $alpha$ è l'angolo di rotazione (nel mio caso $2 pi$), e $A$ è l'area della superficie che ruota e $x_b$, come ho detto poco fa, è la coordinata $x$ del baricentro
la superficie $A$ la calcolo determinando l'area sottesa tra la circonferenza di equazione $x^2+z^2=R^2$ e la retta $z=a$, ricordando che $a$ è il raggio del cilindro, da cui [tex]z = \sqrt{R^{2} - x^{2}}[/tex]
quindi ho [tex]A = \iint dA = \int_{-R}^{R} \int_{a}^{\sqrt{R^{2} - x^{2}}} dz dx[/tex]
credo che fino a qui sia tutto a posto
per la coordinata del baricentro ho
[tex]x_{b} = \frac{ \iint x dxdz }{\iint dxdz}[/tex]
ma al denominatore non ho la stessa area che ho calcolato poco fa?
Sì, è esattamente la stessa area.
ma quindi il teorema di Guldino lo si può riformulare
[tex]V = \alpha \cdot \frac{ \iint x dxdz }{ \underbrace{\iint dx dz}_{=A}} \cdot A = \alpha \cdot \iint x dxdz[/tex] ??
penso di aver però commesso un errore con gli estremi di integrazione lungo $z$
prima ho indicato $-R \leq z \leq R$ ma non è corretto, credo che sia più corretto scrivere
[tex]-\sqrt{R^{2} - a^{2}} \leq z \leq \sqrt{R^{2} - a^{2}}[/tex]
ho svolto i calcoli e verificato il risultato online (è possibile sapere se l'esercizio è corretto, ma non si può conoscere la risposta) e mi dice che è sbagliato
non posto tutti i calcoli per questioni di lunghezza, il mio ragionamento è corretto pertanto sbaglio i calcoli?
[tex]V = \alpha \cdot \frac{ \iint x dxdz }{ \underbrace{\iint dx dz}_{=A}} \cdot A = \alpha \cdot \iint x dxdz[/tex] ??
penso di aver però commesso un errore con gli estremi di integrazione lungo $z$
prima ho indicato $-R \leq z \leq R$ ma non è corretto, credo che sia più corretto scrivere
[tex]-\sqrt{R^{2} - a^{2}} \leq z \leq \sqrt{R^{2} - a^{2}}[/tex]
ho svolto i calcoli e verificato il risultato online (è possibile sapere se l'esercizio è corretto, ma non si può conoscere la risposta) e mi dice che è sbagliato
non posto tutti i calcoli per questioni di lunghezza, il mio ragionamento è corretto pertanto sbaglio i calcoli?
Il teorema di Guldino è in pratica equivalente al passaggio in coordinate cilindriche. La formula su wikipedia è principalmente utile quando si conoscono metodi veloci per calcolare area e baricentro (considera il caso di un toro per esempio). Se no, è praticamente uguale al calcolo in coordinate cilindriche. Senza vedere i tuoi calcoli non ti saprei dire se hai sbagliato qualcosa. Posso però dirti che c'è qualcosa di sbagliato in quello che hai scritto. L'intervallo di integrazione lungo la \(x\) dipende infatti dalla \(x\) stessa... Immagino dovrebbe almeno essere \(z\), ma non è del tutto chiaro come siano messi gli assi.
Sì c'era un errore di battitura
I calcoli sono questo
[tex]V = \alpha\cdot \iint x dx dz = \alpha \cdot \int_{-\sqrt{R^{2}-a^{2}}}^{\sqrt{R^{2}-a^{2}}} \int_{a}^{\sqrt{R^{2}-z^{2}}}x dxdz = \alpha[/tex]
[tex]= \alpha \cdot \int_{-\sqrt{R^{2}-a^{2}}}^{\sqrt{R^{2}-a^{2}}} \left( \frac{R^{2}-z^{2}-a^{2}}{2}\right) dz
= \frac{\alpha}{2}\left( \left( R^{2}-a^{2}\right)\int_{-\sqrt{R^{2}-a^{2}}}^{\sqrt{R^{2}-a^{2}}}dz -\int_{-\sqrt{R^{2}-a^{2}}}^{\sqrt{R^{2}-a^{2}}}z^{2} dz \right)[/tex]
[tex]=\frac{\alpha}{2}\left( 2\sqrt{ (R^{2}-a^{2})^{3}} - \frac{2}{3} \sqrt{ (R^{2}-a^{2})^{3}} \right) = \alpha \cdot \frac{1}{3} \sqrt{ (R^{2}-a^{2})^{3}}[/tex]
dove $alpha = 2 pi$ quindi
[tex]V = \frac{2}{3} \pi \sqrt{ (R^{2}-a^{2})^{3}}[/tex]
è corretto?
I calcoli sono questo
[tex]V = \alpha\cdot \iint x dx dz = \alpha \cdot \int_{-\sqrt{R^{2}-a^{2}}}^{\sqrt{R^{2}-a^{2}}} \int_{a}^{\sqrt{R^{2}-z^{2}}}x dxdz = \alpha[/tex]
[tex]= \alpha \cdot \int_{-\sqrt{R^{2}-a^{2}}}^{\sqrt{R^{2}-a^{2}}} \left( \frac{R^{2}-z^{2}-a^{2}}{2}\right) dz
= \frac{\alpha}{2}\left( \left( R^{2}-a^{2}\right)\int_{-\sqrt{R^{2}-a^{2}}}^{\sqrt{R^{2}-a^{2}}}dz -\int_{-\sqrt{R^{2}-a^{2}}}^{\sqrt{R^{2}-a^{2}}}z^{2} dz \right)[/tex]
[tex]=\frac{\alpha}{2}\left( 2\sqrt{ (R^{2}-a^{2})^{3}} - \frac{2}{3} \sqrt{ (R^{2}-a^{2})^{3}} \right) = \alpha \cdot \frac{1}{3} \sqrt{ (R^{2}-a^{2})^{3}}[/tex]
dove $alpha = 2 pi$ quindi
[tex]V = \frac{2}{3} \pi \sqrt{ (R^{2}-a^{2})^{3}}[/tex]
è corretto?
L'ultimo passaggio mi sembra sbagliato. Ti mostro i miei calcoli con le coordinate cilindriche che ho usato come confronto per i risultati. Supponiamo che il cilindro sia allineato con l'asse \(z\) e che abbia raggio \(r\). Il raggio della sfera sarà \(R\). Osservo prima di tutto che il nostro oggetto è simmetrico rispetto al piano \( z = 0. \) Posso quindi limitarmi a considerare \( z \ge 0 \) e moltiplicare quindi il risultato per due. Passando in coordinate cilindriche il volume di quel solido dovrebbe diventare uguale a:
\[ 2 \, \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\sqrt{R^2 - r^2}} \int_r^{\sqrt{R^2 - z^2}} \rho \, d\rho dz, \]
che come vedi è del tutto equivalente a quello che hai trovato con Guldino. Per cui, facendo i calcoli si dovrebbe ottenere:
\[ 4\pi \, \int_0^{\sqrt{R^2 - r^2}} \frac{R^2 - z^2 - r^2}{2} \, dz \]
da cui si ottiene per linearità
\[ 2\pi \left( (R^2 - r^2)^{3/2} - \frac{1}{3}(R^2 - r^2)^{3/2} \right) = \frac{4\pi (R^2 - r^2)^{3/2}}{3}. \]
Insomma, il passaggio errato era nel calcolare \( 1 - 1/3 = 2/3, \) mentre nei tuoi calcoli hai scritto \( 1 - 1/3 = 1/3. \)
\[ 2 \, \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\sqrt{R^2 - r^2}} \int_r^{\sqrt{R^2 - z^2}} \rho \, d\rho dz, \]
che come vedi è del tutto equivalente a quello che hai trovato con Guldino. Per cui, facendo i calcoli si dovrebbe ottenere:
\[ 4\pi \, \int_0^{\sqrt{R^2 - r^2}} \frac{R^2 - z^2 - r^2}{2} \, dz \]
da cui si ottiene per linearità
\[ 2\pi \left( (R^2 - r^2)^{3/2} - \frac{1}{3}(R^2 - r^2)^{3/2} \right) = \frac{4\pi (R^2 - r^2)^{3/2}}{3}. \]
Insomma, il passaggio errato era nel calcolare \( 1 - 1/3 = 2/3, \) mentre nei tuoi calcoli hai scritto \( 1 - 1/3 = 1/3. \)
scusa,
ho commesso l'errore nel trascrivere la formula qui in Latex, sul mio quaderno l'ho scritta corretta
quindi ottieni esattamente quello che ho trovato io
ora... l'esercizio mi dice di usare una raggio del cilindro $a=0.5$ e la sfera di raggio unitario, quindi a meno che non abbia fatto male i calcoli 4 volte avrei un volume pari a
[tex]V = \frac{4\pi}{3} \left(1-0.5^{2}\right)^{3/2} =\frac{ \sqrt{3}}{2}\pi = 2.7207[/tex] approssimato alla quarta cifra decimale (come indica l'esercizio)
e il sito mi dice che è sbagliato
ho commesso l'errore nel trascrivere la formula qui in Latex, sul mio quaderno l'ho scritta corretta
quindi ottieni esattamente quello che ho trovato io
ora... l'esercizio mi dice di usare una raggio del cilindro $a=0.5$ e la sfera di raggio unitario, quindi a meno che non abbia fatto male i calcoli 4 volte avrei un volume pari a
[tex]V = \frac{4\pi}{3} \left(1-0.5^{2}\right)^{3/2} =\frac{ \sqrt{3}}{2}\pi = 2.7207[/tex] approssimato alla quarta cifra decimale (come indica l'esercizio)
e il sito mi dice che è sbagliato
Anche io ottengo quello stesso risultato.
Ok, questo mi fa sentire meglio 
può essere che ci sia qualcosa di sbagliato nella prima parte del mio ragionamento?
può essere che ci sia qualcosa di sbagliato nella prima parte del mio ragionamento?
Ho provato a fare lo stesso calcolo in coordinate cilindriche
applicando
[tex]V=\iiint dV = \iiint \rho d\rho d\varphi dz[/tex]
ho preso come estremi di integrazione
[tex]a \leq \rho \leq R[/tex]
[tex]0 \leq \varphi \leq 2\pi[/tex]
[tex]-\sqrt{R^{2}-a^{2}} \leq z \leq \sqrt{R^{2}-a^{2}}[/tex]
e mi viene
[tex]V = \int_{-\sqrt{R^{2}-a^{2}}}^{\sqrt{R^{2}-a^{2}}} \left( \int_{a}^{R}\rho d\rho \int_{0}^{2\pi}d\varphi \right) dz = 2\pi \sqrt{(R^{2}-a^{2})^{3}}[/tex]
che ovviamente non corrisponde al risultato trovato con Guldino, ma credo di ci sia qualche errore negli estremi di integrazione ma non ne sono sicura
applicando
[tex]V=\iiint dV = \iiint \rho d\rho d\varphi dz[/tex]
ho preso come estremi di integrazione
[tex]a \leq \rho \leq R[/tex]
[tex]0 \leq \varphi \leq 2\pi[/tex]
[tex]-\sqrt{R^{2}-a^{2}} \leq z \leq \sqrt{R^{2}-a^{2}}[/tex]
e mi viene
[tex]V = \int_{-\sqrt{R^{2}-a^{2}}}^{\sqrt{R^{2}-a^{2}}} \left( \int_{a}^{R}\rho d\rho \int_{0}^{2\pi}d\varphi \right) dz = 2\pi \sqrt{(R^{2}-a^{2})^{3}}[/tex]
che ovviamente non corrisponde al risultato trovato con Guldino, ma credo di ci sia qualche errore negli estremi di integrazione ma non ne sono sicura
Il raggio della circonferenza ad altezza \(z\) non è \(R\).. Per cui questo tuo ultimo integrale non è corretto.
in effetti lo avevo visto dopo
Il problema é che non é un raggio, ma é una semi parabola
quindi la lunghezza del "raggio" sarebbe
$rho^2 = (R^2-a^2)cos t + (R-a)sin t$ con $0 \leq t \leq pi$
cosa che mi sta complicando un po' la vita
A meno che io mi stia perdendo dietro ad una banalitá credo che con Guldino sia molto piú semplice, non capisco solo perché il sito mi dica che il risultato é sbagliato
Il problema é che non é un raggio, ma é una semi parabola
quindi la lunghezza del "raggio" sarebbe
$rho^2 = (R^2-a^2)cos t + (R-a)sin t$ con $0 \leq t \leq pi$
cosa che mi sta complicando un po' la vita
A meno che io mi stia perdendo dietro ad una banalitá credo che con Guldino sia molto piú semplice, non capisco solo perché il sito mi dica che il risultato é sbagliato
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