Volume e area
Siano dati i punti A1(1,0,1) A2(2,1,1) A3(3,-2,1) A4(1,2,3)
1)Mostrare che i vettori U=A1A2 v=A1A3 w=A1A4 sono LI.
2)calcolare il volume del parallelepipedo di spigoli u,v,w
3)calcolare l'area del parallelogramma di lati u e v
Siamo nello spazio ovviamente.
1) i vettori su citati vengono A1A2 (1,1,0) A1A3(2,-2,0) A1A4(0,2,2), facendo il determinante si verifica che fa -12
2) per il volume ho preso il valore del determinante -12 in valore assoluto, quindi 12
3) per l'area ho ragionato così: considera la faccia di base del parallelepipedo. noi sappiamo che l'area si calcolare base per altezza. Penso che l'altezza sia la proiezione del vettore u su v, quindi utilizzando la formula dell'angolo uv/|u||v| al numeratore mi dà (1)(2)+(-2)(1)= 0 .. come risolvo?
grazie
1)Mostrare che i vettori U=A1A2 v=A1A3 w=A1A4 sono LI.
2)calcolare il volume del parallelepipedo di spigoli u,v,w
3)calcolare l'area del parallelogramma di lati u e v
Siamo nello spazio ovviamente.
1) i vettori su citati vengono A1A2 (1,1,0) A1A3(2,-2,0) A1A4(0,2,2), facendo il determinante si verifica che fa -12
2) per il volume ho preso il valore del determinante -12 in valore assoluto, quindi 12
3) per l'area ho ragionato così: considera la faccia di base del parallelepipedo. noi sappiamo che l'area si calcolare base per altezza. Penso che l'altezza sia la proiezione del vettore u su v, quindi utilizzando la formula dell'angolo uv/|u||v| al numeratore mi dà (1)(2)+(-2)(1)= 0 .. come risolvo?
grazie
Risposte
"Algalord":
Siamo nello spazio ovviamente.
Che bello!
Dove andiamo, su Saturno? Oppure ad esplorare nuovi mondi sconosciuti? 
Scusami ma non ho resistito...
"Algalord":
1) i vettori su citati vengono A1A2 (1,1,0) A1A3(2,-2,0) A1A4(0,2,2), facendo il determinante si verifica che fa -12
2) per il volume ho preso il valore del determinante -12 in valore assoluto, quindi 12
3) per l'area ho ragionato così: considera la faccia di base del parallelepipedo. noi sappiamo che l'area si calcolare base per altezza. Penso che l'altezza sia la proiezione del vettore u su v, quindi utilizzando la formula dell'angolo uv/|u||v| al numeratore mi dà (1)(2)+(-2)(1)= 0 .. come risolvo?
det=-12 quindi LI, ok. 1 e 2 sembrano ok.
Per quanto riguarda 3), per dire base per altezza devi poter parlare di lunghezze ed angoli. Questo in geometria affine non ha senso. L'area si calcola sempre con il determinante, come hai fatto per il volume, considerando i due vettori interessati, quindi area=det(u w).
Ciao,
Leonardo
"Leonardo89":
[quote="Algalord"]Siamo nello spazio ovviamente.
Che bello!
Dove andiamo, su Saturno? Oppure ad esplorare nuovi mondi sconosciuti? Scusami ma non ho resistito...
"Algalord":
1) i vettori su citati vengono A1A2 (1,1,0) A1A3(2,-2,0) A1A4(0,2,2), facendo il determinante si verifica che fa -12
2) per il volume ho preso il valore del determinante -12 in valore assoluto, quindi 12
3) per l'area ho ragionato così: considera la faccia di base del parallelepipedo. noi sappiamo che l'area si calcolare base per altezza. Penso che l'altezza sia la proiezione del vettore u su v, quindi utilizzando la formula dell'angolo uv/|u||v| al numeratore mi dà (1)(2)+(-2)(1)= 0 .. come risolvo?
det=-12 quindi LI, ok. 1 e 2 sembrano ok.
Per quanto riguarda 3), per dire base per altezza devi poter parlare di lunghezze ed angoli. Questo in geometria affine non ha senso. L'area si calcola sempre con il determinante, come hai fatto per il volume, considerando i due vettori interessati, quindi area=det(u w).
Ciao,
Leonardo[/quote]
io intendevo dire che per base prendo la lunghezza della base, ovvero del vettore v (non w come hai scritto) e la proiezione che mi calcolo col coseno dell'angolo. detto ciò mi dici di fare un determinante 3x2?
"Algalord":
io intendevo dire che per base prendo la lunghezza della base, ovvero del vettore v (non w come hai scritto) e la proiezione che mi calcolo col coseno dell'angolo. detto ciò mi dici di fare un determinante 3x2?
Ciao
Ancora non studio la geometria euclidea, conosco solo quella affine però mi hanno insegnato il significato geometrico del determinante e penso che non ci sia bisogno di tirare in balla angoli e coseni.
Ti spiego. Prima ho detto effettivamente una scemenza. Il determinante 3x2 non è definito ma quello 2x2 si. Effettuando un cambiamento di coordinate affini, puoi sempre porti in un sistema di riferimento affine in cui i 2 vettori che individuano il parallelogramma di cui calcolare l'area possano essere espressi come combinazione lineare unicamente dei primi 2 vettori della base del riferimento affine, così che le altre coordinate siano 0.
In questo caso u e w hanno già la 3° coordinata uguale a zero, quindi appartengono al piano individuato da (1,0,0) e da (0,1,0), quindi possiamo considerarli come u'=(1,1) e w'=(2,-2). Un det 2x2 si può calcolare.
Spero di non aver detto scemenze.
Leonardo
P.S. In questo caso non ci sono problemi ma se si effettuasse un cambio di coordinate affini come da me suggerito bisognerebbe preoccuparsi del fatto che il determinante e, quindi, l'area, potrebbero cambiare ed, in caso, di "riaggiustare" l'area. Ci penso un attimo e poi ti dico.
Riguardo al cambiamento di coordinate affini di cui parlavo
Indico con $ v_0, ..., v_n $ n punti di cui si parla e con $ v'_0, ..., v'_n $ gli stessi punti in un diverso sistema di riferimento affine, si ha, considerando $ v'_i = A v_i + C $ la formula del cambiamento di coordinate affini,
$ det(v'_1-v'_0, ..., v'_n-v'_0) = det(A(v_1-v_0), ..., A(v_n-v_0))= det(A(v_1-v_0, ..., v_n-v_0)) = detA \cdot det(v_1-v_0, ..., v_n-v_0)) $
Quindi $ det(v_1-v_0, ..., v_n-v_0) = \frac{det(v'_1-v'_0, ..., v'_n-v'_0)}{detA} $
Aggiustato quindi anche il problema della correzione dell'area.
Sfogliando il mio libro di geometria, comunque, mi è sembrato di capire che l'area è un concetto di geometria euclidea e non affine, ecco quindi perché l'area "cambia" con un cambiamento di coordinate affini. In uno spazio euclideo questo non accadrebbe in quanto, come mi è sembrato di capire, la matrice A di cui sopra deve essere per forza ortogonale, quindi il modulo del suo determinante è 1. Suppongo comunque che il mio stratagemma funzioni anche in spazi euclidei anche se non so quanto sia efficace nei conti.
Spero di non aver detto troppe scemenze ed in tal caso ringrazio in anticipo chiunque mi correggerà.
Leonardo
Indico con $ v_0, ..., v_n $ n punti di cui si parla e con $ v'_0, ..., v'_n $ gli stessi punti in un diverso sistema di riferimento affine, si ha, considerando $ v'_i = A v_i + C $ la formula del cambiamento di coordinate affini,
$ det(v'_1-v'_0, ..., v'_n-v'_0) = det(A(v_1-v_0), ..., A(v_n-v_0))= det(A(v_1-v_0, ..., v_n-v_0)) = detA \cdot det(v_1-v_0, ..., v_n-v_0)) $
Quindi $ det(v_1-v_0, ..., v_n-v_0) = \frac{det(v'_1-v'_0, ..., v'_n-v'_0)}{detA} $
Aggiustato quindi anche il problema della correzione dell'area.
Sfogliando il mio libro di geometria, comunque, mi è sembrato di capire che l'area è un concetto di geometria euclidea e non affine, ecco quindi perché l'area "cambia" con un cambiamento di coordinate affini. In uno spazio euclideo questo non accadrebbe in quanto, come mi è sembrato di capire, la matrice A di cui sopra deve essere per forza ortogonale, quindi il modulo del suo determinante è 1. Suppongo comunque che il mio stratagemma funzioni anche in spazi euclidei anche se non so quanto sia efficace nei conti.
Spero di non aver detto troppe scemenze ed in tal caso ringrazio in anticipo chiunque mi correggerà.
Leonardo
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