Volume della sfera unitaria di $RR^n$
Qualcuno sa consigliarmi un testo da consultare o può indicare i passaggi fondamentali per dimostrare la formula del volume della sfera unitaria di $RR^n$:
$alpha(n)=$ volume della sfera unitaria di $RR^n=\frac{pi^(n/2)}{Gamma(n/2+1)}$?
Il fatto che nel calcolo del volume sia coinvolta la funzione $Gamma$ di Eulero è abbastanza insolito e per questo la questione mi interessa.
$alpha(n)=$ volume della sfera unitaria di $RR^n=\frac{pi^(n/2)}{Gamma(n/2+1)}$?
Il fatto che nel calcolo del volume sia coinvolta la funzione $Gamma$ di Eulero è abbastanza insolito e per questo la questione mi interessa.
Risposte
Ciao,
un testo nn saprei consigliarlo, però, per quanto riguarda i passaggi fondamentali:
si può iniziare col dimostrare che: $\int_(-oo)^(+oo) e^(-x^2) dx = sqrt(pi) $ (si calcola $(int_(-oo)^(+oo) e^(-x^2) dx )^2$ utilizzando le coord polari).
In seguito si calcola analogamente $(pi)^(n/2)=(int_(-oo)^(+oo) e^(-x^2) dx)^n=...=s_(n-1)int_(0)^(+oo) (e^(-s)s^((n-1)/2))/(2sqrt(s)) ds = (s_(n-1))/2 Gamma(n/2)$, dove $s_(n-1)$ è la misura della sfera $S^(n-1)$.
Utilizzando la relazione $alpha(n) n = s_(n-1)$ ottieni
$(pi)^(n/2)=(nalpha(n))/2Gamma(n/2)=alpha(n)Gamma(n/2+1)$ e dunque l'affermazione è dimostrata.
(La relazione di sopra l'ho dimostrata in un corso utilizzando i tensori, il teorema di Stokes,..., ma credo ci siano altre strade)
un testo nn saprei consigliarlo, però, per quanto riguarda i passaggi fondamentali:
si può iniziare col dimostrare che: $\int_(-oo)^(+oo) e^(-x^2) dx = sqrt(pi) $ (si calcola $(int_(-oo)^(+oo) e^(-x^2) dx )^2$ utilizzando le coord polari).
In seguito si calcola analogamente $(pi)^(n/2)=(int_(-oo)^(+oo) e^(-x^2) dx)^n=...=s_(n-1)int_(0)^(+oo) (e^(-s)s^((n-1)/2))/(2sqrt(s)) ds = (s_(n-1))/2 Gamma(n/2)$, dove $s_(n-1)$ è la misura della sfera $S^(n-1)$.
Utilizzando la relazione $alpha(n) n = s_(n-1)$ ottieni
$(pi)^(n/2)=(nalpha(n))/2Gamma(n/2)=alpha(n)Gamma(n/2+1)$ e dunque l'affermazione è dimostrata.
(La relazione di sopra l'ho dimostrata in un corso utilizzando i tensori, il teorema di Stokes,..., ma credo ci siano altre strade)
Direi che si può anche non coinvolgere la gamma di Eulero.
Per una trattazione dettagliata, comunque, io ti consiglierei Lanconelli - Lezioni di analisi matematica 2, prima parte (p. 241-245).
Un sacco di testi di analisi due trattano questo argomento, un salto in una biblioteca a scaffale aperto non guasta....
Per una trattazione dettagliata, comunque, io ti consiglierei Lanconelli - Lezioni di analisi matematica 2, prima parte (p. 241-245).
Un sacco di testi di analisi due trattano questo argomento, un salto in una biblioteca a scaffale aperto non guasta....
Grazie leev e amel.
(Il libro che cita amel non c'è né nella biblioteca di facoltà né in quella dipartimentale; in più non ho trovato riferimenti all'argomento né tra i testi canonici di Analisi II che adottiamo a Napoli né tra alcuni testi più "datati" in mio possesso... sarò sfigato io!
)
(Il libro che cita amel non c'è né nella biblioteca di facoltà né in quella dipartimentale; in più non ho trovato riferimenti all'argomento né tra i testi canonici di Analisi II che adottiamo a Napoli né tra alcuni testi più "datati" in mio possesso... sarò sfigato io!
)
Se hai grosse difficoltà posso scannerizzarti le pagine del Lanconelli che citava amel, dopotutto non credo sia illegale per così poche pagine.
Paola
Paola
"prime_number":
Se hai grosse difficoltà posso scannerizzarti le pagine del Lanconelli che citava amel, dopotutto non credo sia illegale per così poche pagine.
Paola
Grosse difficoltà no, ma diciamo che una lettura da un testo di Analisi mi fa sempre piacere (soprattutto se il libro non lo conosco)... e fortunatamente esistono i pm!
Ok ho capito, ho il Vangel.. ehm... il Lanconelli proprio qui accanto a me, scannerizzo il tutto. Però tu mandami via MP la tua mail, così mando tutto in allegato!
Paola
proprio qui accanto a me, scannerizzo il tutto. Però tu mandami via MP la tua mail, così mando tutto in allegato!Paola
"prime_number":
ho il Vangel.. ehm... il Lanconelli
Paola
Addirittura!
Comunque, per la cronaca, ci sono altri testi che trattano questo argomento. Solo per citarne alcuni (sono quelli che conosco, poi mi aspetto che non siano gli unici):
Giaquinta - Modica, Analisi matematica 4
De Marco, Analisi due
Però, devo dire, non sono così dettagliati su questo argomento...
Possibile che un argomento così classico non venga trattato da nessun testo di analisi della Liguori (visto che sei di Napoli)??
"amel":
Possibile che un argomento così classico non venga trattato da nessun testo di analisi della Liguori (visto che sei di Napoli)??
Ahimè, sui testi della Liguori che mi sono passati sotto mano in questi giorni (Marcellini-Sbordone, Fiorenza-Greco, Ciliberto-Nappi, un vecchio Coronato ed un ancor precedente Cafiero) non ne ho trovato traccia... Sarà che i primi due sono diventati ormai libri da ingegneri (come il Coronato il quale però, essendo più datato, tratta più argomenti), che il pregevole libro di Ciliberto non sia abbastanza aperto a queste applicazioni, e che i testi più "anziani" lavorino per lo più in $RR^2, RR^3$.
L'unico che non ho consultato è il Fedele, che è abbastanza corposo e tratta molti aspetti della teoria che non vengono affrontati in altri testi. Domani che passo in facoltà darò uno sguardo anche lì... intanto controllo la posta, che non si sa mai!
"amel":
[quote="prime_number"]ho il Vangel.. ehm... il Lanconelli
Paola
Addirittura!
[/quote]
Io venero quell'uomo!
La scannerizzazione è in corso, domani dovrei riuscire a inviarti tutto alla tua mail, gugo!
Paola
"prime_number":
La scannerizzazione è in corso, domani dovrei riuscire a inviarti tutto alla tua mail, gugo!
Paola
Azzie
Spero di non averti fatto perdere troppo tempo Paola.
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