Vettori, parametri, in/dipendenza, base e dimensione del ssv
Ciao a tutti, ho questo esercizio:
dati i vettorio u1=(1;2;1-), u2=(3,-1,2) e u3=(2,1,k), studiare, al variare di k, la dipendenza o indipendenza lineare e, nei vari casi, indicare una base e la dimensione del sottospazio da essi generato.
Allora per la dipendenza e indipendenza non ci sono problemi e il procedimento mi è chiaro ed esce che i vettori risultano INDIPENDENTI per k diverso da 1/7 e DIPENDENTI per k= a 1/7. Ora se i tre vettori sono dipendenti, curiosando su internet e anche qualcuno dei vostri post mi sembra di aver dedotto che i tre vettori formano una base e il sottospazio è tutto R3 edi conseguenza, essendo 3 vettori la dimensione è 3. Correggetemi se sbaglio.
Il mio problema sorge nel cercare un sottospazio nel caso siano dipendenti. Quello che ho provato ha fare è prendere un qualsiasi k = 1/7 e sostituirlo nell'ultimo vettore. Ma a questo punto non so più come andare avanti, ho provato a leggere e rileggere gli appunti ma non capisco come fare, so che la base è formata da vettori lin. Ind, ma se questi sono dipendenti dove li trovo quelli che mi formano una base?
dati i vettorio u1=(1;2;1-), u2=(3,-1,2) e u3=(2,1,k), studiare, al variare di k, la dipendenza o indipendenza lineare e, nei vari casi, indicare una base e la dimensione del sottospazio da essi generato.
Allora per la dipendenza e indipendenza non ci sono problemi e il procedimento mi è chiaro ed esce che i vettori risultano INDIPENDENTI per k diverso da 1/7 e DIPENDENTI per k= a 1/7. Ora se i tre vettori sono dipendenti, curiosando su internet e anche qualcuno dei vostri post mi sembra di aver dedotto che i tre vettori formano una base e il sottospazio è tutto R3 edi conseguenza, essendo 3 vettori la dimensione è 3. Correggetemi se sbaglio.
Il mio problema sorge nel cercare un sottospazio nel caso siano dipendenti. Quello che ho provato ha fare è prendere un qualsiasi k = 1/7 e sostituirlo nell'ultimo vettore. Ma a questo punto non so più come andare avanti, ho provato a leggere e rileggere gli appunti ma non capisco come fare, so che la base è formata da vettori lin. Ind, ma se questi sono dipendenti dove li trovo quelli che mi formano una base?
Risposte
Aggiungo che un secondo esercizio è simile, solo che ho ancora 3 vettori ma in R4 (x;y;z;w). In questo caso trovato il parametro per cui sono linearmente indipendenti, presi come base costituiscono comunque un sottospazio corrispondete a R3 giusto?
Grazie in anticipo!
Grazie in anticipo!
Penso di aver capito, nel caso riprendetemi:
Se i tre vettori sono lin. INDIPENDETI formano una base e se i vettori appartengono a R3 il sottospazio è tutto l'insieme R3, nel caso invece che appartengono a R4 come nel secondo esempio formano una base si un sottospazio di R4 di dim=3, che non è R3.
Se invece sono lin. DIPENDENTI, tra i 3 vettori c'è almeno uno o al massimo due che sono lin Ind., e questo/i costituiscono la base del sottospazio di dimensione rispettivamente uno o due.
è giusto???
Se i tre vettori sono lin. INDIPENDETI formano una base e se i vettori appartengono a R3 il sottospazio è tutto l'insieme R3, nel caso invece che appartengono a R4 come nel secondo esempio formano una base si un sottospazio di R4 di dim=3, che non è R3.
Se invece sono lin. DIPENDENTI, tra i 3 vettori c'è almeno uno o al massimo due che sono lin Ind., e questo/i costituiscono la base del sottospazio di dimensione rispettivamente uno o due.
è giusto???
Devi discutere il rango di $((1,3,2),(2,-1,1),(1,2,k))$ al variare di $[k]$.
Perfect!!! Grazie!
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