[Vettori, Matematica Discreta]
Salve ragazzi, ho un problema riguardo la determinazione di un vettore su una retta parallela.
Vorrei sapere i precedimenti, visto che sul libro non riesco proprio a comprendere.
Un tipo di esercizio che non riesco a capire dice, Determinare le proiezioni del vettore v = i -j +k su una retta parallela al vettore w = i +2j -k.
Grazie in anticipo a chi mi potrà aiutare.
Vorrei sapere i precedimenti, visto che sul libro non riesco proprio a comprendere.
Un tipo di esercizio che non riesco a capire dice, Determinare le proiezioni del vettore v = i -j +k su una retta parallela al vettore w = i +2j -k.
Grazie in anticipo a chi mi potrà aiutare.
Risposte
Il risultato si basa sul concetto di ortogonalità. Cioè dato un sottospazio vettoriale è possibile definire il sottospazio ortogonale ad esso. Inoltre ogni vettore può essere scritto in modo unico come la somma di un elemento del sottospazio vettoriale ed un elemento del suo sottospazio ortogonale. Con proiezione si intende l'addendo contenuto nel sottospazio vettoriale.
Tu hai il vettore \(\displaystyle \mathbf{v} = \mathbf{i} - \mathbf{j} +\mathbf{k} = (1,-1,1) \) e il vettore \(\displaystyle \mathbf{w} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} -\mathbf{k} = (1,2,-1) \). Al secondo associamo il sottospazio vettoriale \(\displaystyle W = \mathbb{R}\mathbf{w} = \{ \mathbf{x}\in V : \exists \lambda\in\mathbb{R},\ \mathbf{x} = \lambda\mathbf{w} \} \) e il suo sottospazio ortogonale \(\displaystyle W^{\perp} = \{ \mathbf{x}\in V : \mathbf{x} \cdot \mathbf{w} = 0 \} \) (è sufficiente farlo per \(\displaystyle \mathbf{w} \) perché il prodotto scalare è bilineare.
Il fatto ricordato prima è equivalente al fatto che \(\displaystyle \mathbf{v} = \lambda\mathbf{w} + \tilde{\mathbf{v}} \) dove \(\displaystyle \tilde{\mathbf{v}} \cdot \mathbf{w} = 0 \). Osserviamo che \(\displaystyle \mathbf{v}\cdot \mathbf{w} = \lambda \mathbf{w}\cdot \mathbf{w} + \tilde{\mathbf{v}} \cdot \mathbf{w} = \lambda \lVert\mathbf{w}\rVert^2 \). Questo implica che \(\displaystyle \lambda = \frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}}{\lVert\mathbf{w}\rVert^2} \). La proiezione che interessa a noi è \(\displaystyle \lambda\mathbf{w} \).
Tu hai il vettore \(\displaystyle \mathbf{v} = \mathbf{i} - \mathbf{j} +\mathbf{k} = (1,-1,1) \) e il vettore \(\displaystyle \mathbf{w} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} -\mathbf{k} = (1,2,-1) \). Al secondo associamo il sottospazio vettoriale \(\displaystyle W = \mathbb{R}\mathbf{w} = \{ \mathbf{x}\in V : \exists \lambda\in\mathbb{R},\ \mathbf{x} = \lambda\mathbf{w} \} \) e il suo sottospazio ortogonale \(\displaystyle W^{\perp} = \{ \mathbf{x}\in V : \mathbf{x} \cdot \mathbf{w} = 0 \} \) (è sufficiente farlo per \(\displaystyle \mathbf{w} \) perché il prodotto scalare è bilineare.
Il fatto ricordato prima è equivalente al fatto che \(\displaystyle \mathbf{v} = \lambda\mathbf{w} + \tilde{\mathbf{v}} \) dove \(\displaystyle \tilde{\mathbf{v}} \cdot \mathbf{w} = 0 \). Osserviamo che \(\displaystyle \mathbf{v}\cdot \mathbf{w} = \lambda \mathbf{w}\cdot \mathbf{w} + \tilde{\mathbf{v}} \cdot \mathbf{w} = \lambda \lVert\mathbf{w}\rVert^2 \). Questo implica che \(\displaystyle \lambda = \frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}}{\lVert\mathbf{w}\rVert^2} \). La proiezione che interessa a noi è \(\displaystyle \lambda\mathbf{w} \).
i
"vict85":
Il risultato si basa sul concetto di ortogonalità. Cioè dato un sottospazio vettoriale è possibile definire il sottospazio ortogonale ad esso. Inoltre ogni vettore può essere scritto in modo unico come la somma di un elemento del sottospazio vettoriale ed un elemento del suo sottospazio ortogonale. Con proiezione si intende l'addendo contenuto nel sottospazio vettoriale.
Tu hai il vettore \(\displaystyle \mathbf{v} = \mathbf{i} - \mathbf{j} +\mathbf{k} = (1,-1,1) \) e il vettore \(\displaystyle \mathbf{w} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} -\mathbf{k} = (1,2,-1) \). Al secondo associamo il sottospazio vettoriale \(\displaystyle W = \mathbb{R}\mathbf{w} = \{ \mathbf{x}\in V : \exists \lambda\in\mathbb{R},\ \mathbf{x} = \lambda\mathbf{w} \} \) e il suo sottospazio ortogonale \(\displaystyle W^{\perp} = \{ \mathbf{x}\in V : \mathbf{x} \cdot \mathbf{w} = 0 \} \) (è sufficiente farlo per \(\displaystyle \mathbf{w} \) perché il prodotto scalare è bilineare.
Il fatto ricordato prima è equivalente al fatto che \(\displaystyle \mathbf{v} = \lambda\mathbf{w} + \tilde{\mathbf{v}} \) dove \(\displaystyle \tilde{\mathbf{v}} \cdot \mathbf{w} = 0 \). Osserviamo che \(\displaystyle \mathbf{v}\cdot \mathbf{w} = \lambda \mathbf{w}\cdot \mathbf{w} + \tilde{\mathbf{v}} \cdot \mathbf{w} = \lambda \lVert\mathbf{w}\rVert^2 \). Questo implica che \(\displaystyle \lambda = \frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}}{\lVert\mathbf{w}\rVert^2} \). La proiezione che interessa a noi è \(\displaystyle \lambda\mathbf{w} \).
Non sto riuscendo a capire, scusami. Sul libro da me la proiezione ortogonale di un vettore su una retta viene spiegata così:
Sia v = [OQ] un vettore e r una retta passante per O di versore u, tale che
retta e vettore formano un angolo "L".
La componente di v nella direzione della retta e il vettore v' = [OQ'], ove Q' e
la proiezione ortogonale di Q su r . Si osserva che
< v; u >= |v||u|cosL = |OQ|cosL = |OQ'|
Pertanto
v' = |OQ'|u =< v; u > u
Da ciò io però non riesco a capire come fare a svolgere l esercizio dato prima..vorrei capire come svolgere perchè capendo il procedimento riesco a fare anche le altre.
Grazie per l attenzione
Per prima cosa ha poco senso parlare di angolo tra retta e vettore. Insomma è più corretto parlare di angolo tra due rette se sono incidenti oppure tra due vettori. Il versore è un vettore. E trovo poco utile tirare fuori la retta quando è qualcosa che ha a che fare solo con i vettori e soprattutto non si è fatto riferimento a nessun punto su cui applicare i due vettori. Cosa diversa è se si hanno due punti e si chiede di trovare la proiezione di quei due punti su una particolare retta.
Per quanto riguarda quello che ho scritto devi tenere conto che ho scritto \(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}\) per indicare quello che tu scrivi con \(\langle \mathbf{v},\mathbf{w} \rangle\) anche se non amo usare la scrittura con il coseno. Quella “per componenti” è in qualche modo più espressiva ed inoltre, in genere in algebra lineare, è il coseno ad essere definito a partire dal prodotto scalare e non il contrario.
La formula che ti ho scritto è comunque la risposta: la proiezione è \(\displaystyle \frac{\langle \mathbf{v},\mathbf{w} \rangle}{\lVert\mathbf{w} \rVert^2}\mathbf{w} \) che si semplifica in \(\displaystyle \langle \mathbf{v},\mathbf{w} \rangle \mathbf{w} \) quando \(\displaystyle \mathbf{w} \) è un versore.
Ovviamente, nella scrittura usando il coseno diventa \(\displaystyle \frac{\lVert\mathbf{v} \rVert\ \lVert\mathbf{w} \rVert\cos\alpha}{\lVert\mathbf{w} \rVert^2}\mathbf{w} = \lVert\mathbf{v} \rVert \cos\alpha \frac{\mathbf{w}}{\lVert\mathbf{w} \rVert} = \bigl(\lVert\mathbf{v} \rVert \cos\alpha \bigr)\hat{\mathbf{w}} \). Ma è poco utile perché è più comodo calcolare il prodotto scalare.
Riguardo al tuo esercizio hai che \(\displaystyle \langle \mathbf{w},\mathbf{w} \rangle = \lVert \mathbf{w} \rVert^2 = 1 + 3 + 1 = 5 \) e che \(\displaystyle \langle \mathbf{v},\mathbf{w} \rangle = 1-2-1 = -2 \). Pertanto \(\displaystyle \frac{\langle \mathbf{v},\mathbf{w} \rangle}{\lVert\mathbf{w} \rVert^2}\mathbf{w} = -\frac{2}{5} \mathbf{w} = -\frac{2}{5} \mathbf{i}-\frac{4}{5} \mathbf{j}+\frac{2}{5} \mathbf{k} \). Ovviamente è un vettore, se vuoi un segmento hai bisogno di una retta e di un punto su di essa.
Per quanto riguarda quello che ho scritto devi tenere conto che ho scritto \(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}\) per indicare quello che tu scrivi con \(\langle \mathbf{v},\mathbf{w} \rangle\) anche se non amo usare la scrittura con il coseno. Quella “per componenti” è in qualche modo più espressiva ed inoltre, in genere in algebra lineare, è il coseno ad essere definito a partire dal prodotto scalare e non il contrario.
La formula che ti ho scritto è comunque la risposta: la proiezione è \(\displaystyle \frac{\langle \mathbf{v},\mathbf{w} \rangle}{\lVert\mathbf{w} \rVert^2}\mathbf{w} \) che si semplifica in \(\displaystyle \langle \mathbf{v},\mathbf{w} \rangle \mathbf{w} \) quando \(\displaystyle \mathbf{w} \) è un versore.
Ovviamente, nella scrittura usando il coseno diventa \(\displaystyle \frac{\lVert\mathbf{v} \rVert\ \lVert\mathbf{w} \rVert\cos\alpha}{\lVert\mathbf{w} \rVert^2}\mathbf{w} = \lVert\mathbf{v} \rVert \cos\alpha \frac{\mathbf{w}}{\lVert\mathbf{w} \rVert} = \bigl(\lVert\mathbf{v} \rVert \cos\alpha \bigr)\hat{\mathbf{w}} \). Ma è poco utile perché è più comodo calcolare il prodotto scalare.
Riguardo al tuo esercizio hai che \(\displaystyle \langle \mathbf{w},\mathbf{w} \rangle = \lVert \mathbf{w} \rVert^2 = 1 + 3 + 1 = 5 \) e che \(\displaystyle \langle \mathbf{v},\mathbf{w} \rangle = 1-2-1 = -2 \). Pertanto \(\displaystyle \frac{\langle \mathbf{v},\mathbf{w} \rangle}{\lVert\mathbf{w} \rVert^2}\mathbf{w} = -\frac{2}{5} \mathbf{w} = -\frac{2}{5} \mathbf{i}-\frac{4}{5} \mathbf{j}+\frac{2}{5} \mathbf{k} \). Ovviamente è un vettore, se vuoi un segmento hai bisogno di una retta e di un punto su di essa.
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