Vettori linearmenti indipendenti

[plesyo96]

Salve,
Ho problemi a verificare che non esistono 3 vettori indipendenti in $RR^2$. E non saprei nemmeno da dove partite
Qualcuno potrebbe darmi una mano? Grazie.

[Gi81]

Se $A$ è sottospazio di $B$, allora $dim(A)<= dim(B)$.
Sei d'accordo su questo?

[plesyo96]

"Gi8":Se $A$ è sottospazio di $B$, allora $dim(A)<= dim(B)$.
Sei d'accordo su questo?

Certo

[vict85]

[xdom="vict85"]Sposto in “geometria e algebra lineare”.[/xdom]

@Gi8 : la definizione di dimensione è successiva a ciò che è necessario usare per il problema di grindelwald. Quindi non può usarlo. Direi che ti conviene ragionare in termini di rango o risoluzione di un sistema lineare.

[kobeilprofeta]

sei d'accordo che $RR^2$ ha due dimensioni?
ok, quindi ogni base è composta da due elementi... scegli una base, chiamiamola ${e_1,e_2}$
Ora considera tre elementi $v_1,v_2,v_3$. Guardiamone una loro comb lin che dà il vettore nullo:
$\alpha_1*v_1+\alpha_2*v_2+\alpha_3*v_3=0$
Ma ora noto che $v_1$ è scrivibile come comb (ogni vettore di $RR^2$ lo è) lineare di $e_1,e_2$.
lo stesso vale per $v_2$ e per $v_3$.
avró: $v_1=a_1*e_1+a_2*e_2$, $v_2=b_1*e_1+b_2*e_2$, $v_3=c_1*e_1+c_2*e_2$.
ho allora:
$\alpha_1*v_1+\alpha_2*v_2+\alpha_3*v_3=\alpha_1*(a_1*e_1+a_2*e_2)+\alpha_2*(b_1*e_1+b_2*e_2)+\alpha_3*(c_1*e_1+c_2*e_2)=0$
Raccolgo
$(\alpha_1*a_1+\alpha_2*b_1+\alpha_3*c_1)*e_1+(\alpha_1*a_2+\alpha_2*b_2+\alpha_3*c_2)*e_2=0$
so che $e_1,e_2$ sono lin ind, quindi:
${(\alpha_1*a_1+\alpha_2*b_1+\alpha_3*c_1=0),(\alpha_1*a_2+\alpha_2*b_2+\alpha_3*c_2=0):}$
Ho trovato quindi delle condizioni che i coefficienti $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ debbono soddisfare per garantire una combinazione non banale dei tre vettori di partenza; quindi essi non sono lin ind: esiste una comb non banale che dà il vettore nullo.

[plesyo96]

"kobeilprofeta":sei d'accordo che $RR^2$ ha due dimensioni?
ok, quindi ogni base è composta da due elementi... scegli una base, chiamiamola ${e_1,e_2}$
Ora considera tre elementi $v_1,v_2,v_3$. Guardiamone una loro comb lin che dà il vettore nullo:
$\alpha_1*v_1+\alpha_2*v_2+\alpha_3*v_3=0$
Ma ora noto che $v_1$ è scrivibile come comb (ogni vettore di $RR^2$ lo è) lineare di $e_1,e_2$.
lo stesso vale per $v_2$ e per $v_3$.
avró: $v_1=a_1*e_1+a_2*e_2$, $v_2=b_1*e_1+b_2*e_2$, $v_3=c_1*e_1+c_2*e_2$.
ho allora:
$\alpha_1*v_1+\alpha_2*v_2+\alpha_3*v_3=\alpha_1*(a_1*e_1+a_2*e_2)+\alpha_2*(b_1*e_1+b_2*e_2)+\alpha_3*(c_1*e_1+c_2*e_2)=0$
Raccolgo
$(\alpha_1*a_1+\alpha_2*b_1+\alpha_3*c_1)*e_1+(\alpha_1*a_2+\alpha_2*b_2+\alpha_3*c_2)*e_2=0$
so che $e_1,e_2$ sono lin ind, quindi:
${(\alpha_1*a_1+\alpha_2*b_1+\alpha_3*c_1=0),(\alpha_1*a_2+\alpha_2*b_2+\alpha_3*c_2=0):}$
Ho trovato quindi delle condizioni che i coefficienti $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ debbono soddisfare per garantire una combinazione non banale dei tre vettori di partenza; quindi essi non sono lin ind: esiste una comb non banale che dà il vettore nullo.

Chiarissimo! Grazie mille