Vettori linearmente indipendenti o meno?

[smaug1]

Io ho scritto una combinazione lineare $a_1 \v_1 + a_2 \v_2 + a_3 \v_3 = 0$

se $a_1 = a_2 = a_3 = 0 $ abbiamo un'unica soluzione e ciò significherebbe che sono indipendenti, se invece abbiamo più di una soluzione, e quindu infinite, sono dipendenti. Si può risolvere con un sistema classico, però ho pensato, che potrei risolverlo trovandone il rango. Se il rango è massimo (3) allora si ha una sola soluzione, se invece è minore di (3) invece se ne hanno infinite, vero?

Quello che vi chiedo è: quale matrice devo considerare, quella dei coefficienti o quella completa? Per caso per il teorema di rouchè-capelli sarebbe indifferente poichè il teorema dice che il rango della matrice completa è uguale a quella incompleta? il rango della matrice mi viene 2...sono dipendenti? quindi non sono una base per $R^n$ vero?

Grazie

[Quinzio]

Perchè non fai la riduzione per righe ? (il metodo di Gauss)

[smaug1]

vero e mi calcolerei direttamente i valori dei coefficienti? come faccio io è giusto? e quello che ho scritto?

[Sk_Anonymous]

Rispondo prima all'ultima cosa scritta questi vettori non saranno mai una base per R4 poi non mi torna quando dici se sono indipendenti avrò una sola soluzione,in questo caso il teorema di rouche capelli lo puoi usare così,se il vettore b appartiene allo Span delle colonne hai soluzioni senno no,per vedere se appartiene vai avanti con l'eliminazione di gauss.

[smaug1]

"fuce93":Rispondo prima all'ultima cosa scritta questi vettori non saranno mai una base per R4 poi non mi torna quando dici se sono indipendenti avrò una sola soluzione

non saranno mai una base perchè sono indipendenti no? io intendo dire che se la matrice dei coefficienti ha rango 2 (ci arrivo con gauss per dirlo) la soluzione non sarà solo quella banale, ma più di una, quindi sono dipendenti. giusto?

"fuce93":il teorema di rouche capelli lo puoi usare così,se il vettore b appartiene allo Span delle colonne hai soluzioni senno no,per vedere se appartiene vai avanti con l'eliminazione di gauss.

non ho capito, potresti spiegarti meglio?

[Palliit]

Non possono essere una base di [tex]\mathbb{R}^{4}[/tex] perchè sono soltanto TRE vettori, a prescindere dalla loro dipendenza lineare o meno.

[Sk_Anonymous]

Esatto proprio per quello

[smaug1]

devono quindi essere QUATTRO, quindi se sono meno o più di quattro non sono una base giusto?

[Sk_Anonymous]

Provo a spiegarmi meglio allora tu quando risolvi un sistema lineare cerchi un vettore che si una combinazione lineare delle colonne cioè faccia parte dello span delle colonne,ora prova a vedere il rango come quante dimensioni spannano le colonne..se il vettore b soluzione e linearmente indipente rispetto alla matrice A vuol dire che puoi fare tutte le combinazioni che vuoi ma b non lo trovi,se invece b non modifica il rango allora ok me lo posso trovare,come fare per scoprirlo?usi gauss o il deteinante della matrice orlata

[robe921]

Ciò che stai facendo tu è verificare la lineare dipendenza/indipendeza dei vettori per uno spazio vettoriale. Per farlo hai diverse strade:
1) porre i tre vettori in combinazione lineare (del tipo $h_1(1,2,0,1)+h_2(2,3,0,1)+h_3(1,5/2,2,-1/2)=(0,0,0,0)$ e verificare che sono L.I. ($h_1=h_2=h_3=0$) risolvendo il sistema derivato, ma penso sia la strada intrapresa da te;
2) riduzione della matrice $A=((1,2,0,1),(2,3,0,1),(1,5/2,2,-1/2))$ in scala (il numero dei pivot rappresenterà il rango della matrice);
3) estrarre un minore $M_2\in\mathbb{R}^(2,2)$ non nullo e calcolarne gli orlati per il teorema di Kronecker (a mio avviso la strada più breve).

È chiaro che $rank(A)=2$, quindi i primi due vettori sono linearmente indipendenti, mentre il terzo può essere espresso come combinazione lineare dei primi due. In altre parole i primi due vettori oltre ad essere generatori sono anche base di uno spazio di dimensione 2.

[smaug1]

"robe92":

È chiaro che $rank(A)=2$, quindi i primi due vettori sono linearmente indipendenti, mentre il terzo può essere espresso come combinazione lineare dei primi due. In altre parole i primi due vettori oltre ad essere generatori sono anche base di uno spazio di dimensione 2.

Grazie robe!