Vettori linearmente indipendenti e classi di equivalenza

[Giovanni D.L.1]

Dire se i seguenti tre vettori dello spazio vettoriale \(Z/5^{3} \) spazio vettoriale su \(Z/5\) sono linearmente indipendenti: \(\begin{pmatrix}[2] \\ [3] \\ [1]\end{pmatrix} , \begin{pmatrix}[1] \\ [0] \\ [2]\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}[0] \\ [2] \\ [0]\end{pmatrix} \)

Consigli per stabilirlo? Sono insicuro su che sistema usare.

Grazie!

[Pappappero1]

In questo caso hai $3$ vettori in uno spazio vettoriale di dimensione $3$. Quindi puoi prendere la matrice ottenuta affiancando i vettori e calcolarne il determinante. Se il determinante e' diverso da zero, allora la matrice e' non-singolare e quindi i vettori sono indipendenti; altrimenti i vettori sono dipendenti.

Piu' in generale, puoi sempre prendere considerare la matrice ottenuta affiancando i vettori, e calcolarne il rango. Dal momento che il rango e' uguale alla dimensione dello spazio generato dalle colonne (quindi nel nostro caso dai nostri vettori), se tale rango e' uguale al numero dei vettori allora questi sono linearmente indipendenti.

[gugo82]

Dato che \(\mathbb{Z}_5\) è un campo, l'algoritmo di Gauss dovrebbe funzionare sempre alla grande.