Vettori linearmente indipendenti e basi
Buongiorno,
volevo porgere la domanda seguente:
Se, durante lo svolgimento di esercizi su spazi vettoriali, basi, nucleo e immagine, dovessi trovare che la dimensione di uno spazio vettororiale X è 3 e poi mi fosse richiesto di trovare una sua base e nel fare questo (tramite la matrice associata) trovassi 4 coefficienti $lambda_(i=1,...,4)=0$ dovrei comunque scegliere solo tre vettori dalla matrice? E nel fare questo, ne sceglierei tre qualunque ? (dato che ho trovato che sono tutti e 4 linearmente indipendenti)
volevo porgere la domanda seguente:
Se, durante lo svolgimento di esercizi su spazi vettoriali, basi, nucleo e immagine, dovessi trovare che la dimensione di uno spazio vettororiale X è 3 e poi mi fosse richiesto di trovare una sua base e nel fare questo (tramite la matrice associata) trovassi 4 coefficienti $lambda_(i=1,...,4)=0$ dovrei comunque scegliere solo tre vettori dalla matrice? E nel fare questo, ne sceglierei tre qualunque ? (dato che ho trovato che sono tutti e 4 linearmente indipendenti)
Risposte
Sì, purchè siano ortogonali.
"laska":
Buongiorno,
volevo porgere la domanda seguente:
Se, durante lo svolgimento di esercizi su spazi vettoriali, basi, nucleo e immagine, dovessi trovare che la dimensione di uno spazio vettororiale X è 3 e poi mi fosse richiesto di trovare una sua base e nel fare questo (tramite la matrice associata) trovassi 4 coefficienti $lambda_(i=1,...,4)=0$ dovrei comunque scegliere solo tre vettori dalla matrice? E nel fare questo, ne sceglierei tre qualunque ? (dato che ho trovato che sono tutti e 4 linearmente indipendenti)
non so se ho capito bene, hai 4 vettori linearmente indipendenti in uno spazio X di dimensione 3? questo non è possibile
Ad esempio, espongo un esempio preso da un esercizio:
devo trovare una base della funzione $f_0(U)$ avente la seguente matrice associata: $((1,0,-1,0),(1,1,1,1),(1,0,-1,0))$ dove U è il sottospazio $U={(x_1,x_2,x_3,x_4 \in RR^4| x_1+x_2-x_3-2x_4=0}$
In questo caso come devo procedere passo passo? Ho più o meno idea..Ma vorrei una strada di cui essere certa!
Per quanto mi riguarda inizierei con il ricavarmi un vettore: x_1=2x_4+x_3-x_2 da cui evinco che il sottospazio U ha dimensione 3(è corretto se scrivo una cosa del genere?). Devo trovare una base, quindi dovrò avere che:
1. $U=L(x_2,x_3,x_4)$
2. $lambda_2x_2+lambda_3x_3+lambda_4x_4=0$
Ma praticamente come faccio? Le componenti di $x_2,x_3,x_4$ sono le righe della mia matrice?
devo trovare una base della funzione $f_0(U)$ avente la seguente matrice associata: $((1,0,-1,0),(1,1,1,1),(1,0,-1,0))$ dove U è il sottospazio $U={(x_1,x_2,x_3,x_4 \in RR^4| x_1+x_2-x_3-2x_4=0}$
In questo caso come devo procedere passo passo? Ho più o meno idea..Ma vorrei una strada di cui essere certa!
Per quanto mi riguarda inizierei con il ricavarmi un vettore: x_1=2x_4+x_3-x_2 da cui evinco che il sottospazio U ha dimensione 3(è corretto se scrivo una cosa del genere?). Devo trovare una base, quindi dovrò avere che:
1. $U=L(x_2,x_3,x_4)$
2. $lambda_2x_2+lambda_3x_3+lambda_4x_4=0$
Ma praticamente come faccio? Le componenti di $x_2,x_3,x_4$ sono le righe della mia matrice?
f com'è definita? ,per procedere comunque devi moltiplicare la matrice associata a f e una base di U che potrebbe essere:
\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1&0&1&0 \\ 0&1&1&0 \\0&0&1&-2 \end{pmatrix} \)
\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1&0&1&0 \\ 0&1&1&0 \\0&0&1&-2 \end{pmatrix} \)
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