Vettori linearmente indipendenti e aggiungo un altro vettore
Salve,
Voglio dimostrarlo ma mi manca un tassello...
Allora io ho una combinazione lineare $a_1v_1, a_2v_2,...,a_kv_k=0$ con $a_1,a_2,...,a_k=0$ giusto? Per ipotesi poiché sono L.I.
Aggiungo un vettore $y$ che ha coefficiente $a$
A questo punto:
Se $a=0$ resto nella condizione di L.I. poiché tutti i coefficienti sono ancora 0, ok?
Se $a != 0$ allora automaticamente sono L.D. poiché ho un coefficiente non nullo e ottenendo $y$ mi trovo che tale vettore è combinazione lineare degli altri poiché: $y=a_1v_1/a, a_2v_2/a,...,a_kv_k/a$ che è una combinazione lineare.
Fila il discorso?
Se sì: non mi trovo perché $a_1,a_2,...,a_k$ nell'ultimo passaggio dovrebbero essere uguali a 0 e quindi $y=0$
Se no: dove ho sbagliato?
Grazie mille
Dati dei vettori Linearmente Indipendenti (L.I.) tali vettori più un vettore x sono Linearmente Dipendenti (L.D.) se e solo se x è CL degli altri?
Voglio dimostrarlo ma mi manca un tassello...
Allora io ho una combinazione lineare $a_1v_1, a_2v_2,...,a_kv_k=0$ con $a_1,a_2,...,a_k=0$ giusto? Per ipotesi poiché sono L.I.
Aggiungo un vettore $y$ che ha coefficiente $a$
A questo punto:
Se $a=0$ resto nella condizione di L.I. poiché tutti i coefficienti sono ancora 0, ok?
Se $a != 0$ allora automaticamente sono L.D. poiché ho un coefficiente non nullo e ottenendo $y$ mi trovo che tale vettore è combinazione lineare degli altri poiché: $y=a_1v_1/a, a_2v_2/a,...,a_kv_k/a$ che è una combinazione lineare.
Fila il discorso?
Se sì: non mi trovo perché $a_1,a_2,...,a_k$ nell'ultimo passaggio dovrebbero essere uguali a 0 e quindi $y=0$
Se no: dove ho sbagliato?
Grazie mille
Risposte
No.
$=>$Se $v_alpha$ è il vettore aggiunto, allora se questo è dipendente:
$b_alpha v_alpha + b_1 v_1 +...+ b_k v_k=0$
Quindi:
$v_alpha= -1/b_alpha (b_1 v_1 +...+ b_k v_k)$
Quindi è combinazione lineare dei vettori precedenti.
$Leftarrow$Se $v_alpha$ è combinazione lineare:
$v_alpha= c_1 v_1 +...+ c_k v_k$
$v_alpha-( c_1 v_1 +...+ c_k v_k)=0$
Quindi sono dipendenti
$=>$Se $v_alpha$ è il vettore aggiunto, allora se questo è dipendente:
$b_alpha v_alpha + b_1 v_1 +...+ b_k v_k=0$
Quindi:
$v_alpha= -1/b_alpha (b_1 v_1 +...+ b_k v_k)$
Quindi è combinazione lineare dei vettori precedenti.
$Leftarrow$Se $v_alpha$ è combinazione lineare:
$v_alpha= c_1 v_1 +...+ c_k v_k$
$v_alpha-( c_1 v_1 +...+ c_k v_k)=0$
Quindi sono dipendenti
Che da quello che ho detto io cambia solo per un meno che mi son perso?
Non è la stessa combinazione di quella con tutti zeri!
allora se questo è dipendenteda dove è sbucato questo?
Non capisco non si può fare come l'avevo impostato io (o meglio il mio prof. di matematica)? Con a uguale o diverso da zero?
No, non ha alcun senso.. Si tratta di un se e solo se, prima dimostri l'implicazione in un verso e poi nell'altro.
La prima dice vettori indipendenti più un nuovo vettore sono dipendenti$=>$ nuovo vettore combinazione lineare.
La seconda dice nuovo vettore combinazione lineare $=>$ i vettori vecchi più il nuovo sono dipendenti.
Così si imposta una dimostrazione.
La prima dice vettori indipendenti più un nuovo vettore sono dipendenti$=>$ nuovo vettore combinazione lineare.
La seconda dice nuovo vettore combinazione lineare $=>$ i vettori vecchi più il nuovo sono dipendenti.
Così si imposta una dimostrazione.
Ah. Quindi dici che ha sbagliato ha impostare la dimostrazione o che io ho capito male?
Ricapitolando.
Paso 1) Ho dei vettori L.I. Passo 2)aggiungo uno e vedo che essi sono dipendenti (lo capisco da a diverso da 0). 3)Mi trovo esplicitando il vettore che tale vettore è C.L. degli altri.
E' questo il ragionamento corretto? (Senza alcuna imprecisione se non di forma?)
Ricapitolando.
Paso 1) Ho dei vettori L.I. Passo 2)aggiungo uno e vedo che essi sono dipendenti (lo capisco da a diverso da 0). 3)Mi trovo esplicitando il vettore che tale vettore è C.L. degli altri.
E' questo il ragionamento corretto? (Senza alcuna imprecisione se non di forma?)
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