Vettori linearmente indipendenti con matrice (come dimostrarlo)
Ciao a tutti,
sto cercando di capire un passaggio fatto dall'esercitatore poiché nelle lezioni teoriche è stato affrontato in modo differente e non riesco a trovare un legame.
Mi spiego: per la teoria so che lo spazio delle righe di una matrice ridotta ha la dimensione date dal rango e in particolare quindi avrò per riga (quelle non zere) vettori della base. Questo è molto utile per estrarre i vettori di una base per uno spazio dato caratterizzando i suoi generatori: estrazione di una base da sistema di generatori.
All'atto pratico pongo i vettori generatori per riga e riduco, trovo il rango e ho dimensione e base (i non nulli).
Il mio esercitatore invece usa un metodo differente, del tutto simile a questo trovato online:
1- dispone i vettori (componenti) per colonna.
2- riduce col metodo gaussiano per RIGA trovando la matrice a scala
3- il numero di pivot è il rango e corrisponde ai vettori colonna linearmente indipendneti e quindi alla dimensione dello spazio generato dai vettori dati
4- i vettori colonna della matrice non ridotta M (iniziale) che corrispondono ai vettori colonna della matrice ridotta che contengono i pivot costituiscono una base dello spazio generato dal sistema di generatori
I miei dubbi ruotano attorno ai punti 3,4 del precedente schema:
a) perché il rango della matrice è quello del numero di colonne che corrisponde al rango ecc.. a me è stato mostrato per riga il risultato ma come lo riporto per colonna?
b) come dimostro che, i vettori colonna della matrice non ridotta M, che corrispondono ai vettori colonna contenenti i pivot costituiscono una base? Io capirei se disponessi come faceva nella lezione di teoria i vettori per riga e riduco per riga perché c'è un teorema dimostrato ma questo metodo di disporre per colonna, ridurre per riga e isolare solo le prime colonne come diamine lo dimostro? Sarei molto curioso ma non ho trovato nulla, trovo sempre soluzioni e metodi per riga!
Grazie:D
sto cercando di capire un passaggio fatto dall'esercitatore poiché nelle lezioni teoriche è stato affrontato in modo differente e non riesco a trovare un legame.
Mi spiego: per la teoria so che lo spazio delle righe di una matrice ridotta ha la dimensione date dal rango e in particolare quindi avrò per riga (quelle non zere) vettori della base. Questo è molto utile per estrarre i vettori di una base per uno spazio dato caratterizzando i suoi generatori: estrazione di una base da sistema di generatori.
All'atto pratico pongo i vettori generatori per riga e riduco, trovo il rango e ho dimensione e base (i non nulli).
Il mio esercitatore invece usa un metodo differente, del tutto simile a questo trovato online:
1- dispone i vettori (componenti) per colonna.
2- riduce col metodo gaussiano per RIGA trovando la matrice a scala
3- il numero di pivot è il rango e corrisponde ai vettori colonna linearmente indipendneti e quindi alla dimensione dello spazio generato dai vettori dati
4- i vettori colonna della matrice non ridotta M (iniziale) che corrispondono ai vettori colonna della matrice ridotta che contengono i pivot costituiscono una base dello spazio generato dal sistema di generatori
I miei dubbi ruotano attorno ai punti 3,4 del precedente schema:
a) perché il rango della matrice è quello del numero di colonne che corrisponde al rango ecc.. a me è stato mostrato per riga il risultato ma come lo riporto per colonna?
b) come dimostro che, i vettori colonna della matrice non ridotta M, che corrispondono ai vettori colonna contenenti i pivot costituiscono una base? Io capirei se disponessi come faceva nella lezione di teoria i vettori per riga e riduco per riga perché c'è un teorema dimostrato ma questo metodo di disporre per colonna, ridurre per riga e isolare solo le prime colonne come diamine lo dimostro? Sarei molto curioso ma non ho trovato nulla, trovo sempre soluzioni e metodi per riga!
Grazie:D
Risposte
Proprio nessun aiuto? 
Per il punto 3 non ci sono problemi, il rango resta lo stesso sia lavorando sulle righe che sulle colonne.
Per il punto 4, credo di non aver capito bene.
Per il punto 4, credo di non aver capito bene.
Grazie per la risposta 
.
Per il punto 3 è vero però non riesco a dimostrare il perché. Mi sarebbe piaciuto riuscire a trovare una dimostrazione ben fatta.
per il punto 4 invece, provo a spiegarmi meglio.
Sostanzialmente il mio esercitatore fa così, forse è più facile con un esempio:
dispone per colonna i vettori M=$ ((a,b,c,d), (e,f,g,h), (i,l,m,n), (o,p,q,r))$ (i vettori erano mettiamo: (a,e,i,o), (b,f,l,p) ...)
riduce la matrice e trova ad es. quella a scala M'=$ ((r,t,h,y), (0,g,r,w), (0,0,0,0), (0,0,0,0))$
conclude che la base sono proprio i primi due vettori inseriti nella matrice M: (a,e,i,o), (b,f,l,p) (che corrispondono ai pivot di M') e non come mi aspetterei (r,0,0,0), (t,g,0,0).
Prende cioè i corrispondenti delle colonne con i pivot di M' ma come vettori di M. PErché ? non capisco proprio
.Per il punto 3 è vero però non riesco a dimostrare il perché. Mi sarebbe piaciuto riuscire a trovare una dimostrazione ben fatta.
per il punto 4 invece, provo a spiegarmi meglio.
4- i vettori colonna della matrice non ridotta M (iniziale) che corrispondono ai vettori colonna della matrice ridotta che contengono i pivot costituiscono una base dello spazio generato dal sistema di generatori
Sostanzialmente il mio esercitatore fa così, forse è più facile con un esempio:
dispone per colonna i vettori M=$ ((a,b,c,d), (e,f,g,h), (i,l,m,n), (o,p,q,r))$ (i vettori erano mettiamo: (a,e,i,o), (b,f,l,p) ...)
riduce la matrice e trova ad es. quella a scala M'=$ ((r,t,h,y), (0,g,r,w), (0,0,0,0), (0,0,0,0))$
conclude che la base sono proprio i primi due vettori inseriti nella matrice M: (a,e,i,o), (b,f,l,p) (che corrispondono ai pivot di M') e non come mi aspetterei (r,0,0,0), (t,g,0,0).
Prende cioè i corrispondenti delle colonne con i pivot di M' ma come vettori di M. PErché ? non capisco proprio
Nessuna idea?
Rispondo solo a un dubbio, per adesso: i ranghi per riga e per colonna di una matrice coincidono!
Lo sapevi?
Lo sapevi?
Sono riuscito a trovare la dimostrazione che il numero di righe L.I di una matrice A è uguale al numero di colonne L.I, e data l'equivalenza tra diverse definizioni di rango con rango definito come numero di righe L.I. trovo l'equivalenza come rango = numero colonne L.I.
Non so se ci sia una via più rapida per vederlo? Nel caso non ci sia direi che quel dubbio è risolto e manca il b). Senno se hai un metodo più furbo per a) lo leggerei volentieri
Grazie!
Non so se ci sia una via più rapida per vederlo? Nel caso non ci sia direi che quel dubbio è risolto e manca il b). Senno se hai un metodo più furbo per a) lo leggerei volentieri
Grazie!
"Il_Gariboldi":
Grazie per la risposta
Per il punto 3 è vero però non riesco a dimostrare il perché. Mi sarebbe piaciuto riuscire a trovare una dimostrazione ben fatta.
per il punto 4 invece, provo a spiegarmi meglio.
4- i vettori colonna della matrice non ridotta M (iniziale) che corrispondono ai vettori colonna della matrice ridotta che contengono i pivot costituiscono una base dello spazio generato dal sistema di generatori
Sostanzialmente il mio esercitatore fa così, forse è più facile con un esempio:
dispone per colonna i vettori M=$ ((a,b,c,d), (e,f,g,h), (i,l,m,n), (o,p,q,r))$ (i vettori erano mettiamo: (a,e,i,o), (b,f,l,p) ...)
riduce la matrice e trova ad es. quella a scala M'=$ ((r,t,h,y), (0,g,r,w), (0,0,0,0), (0,0,0,0))$
conclude che la base sono proprio i primi due vettori inseriti nella matrice M: (a,e,i,o), (b,f,l,p) (che corrispondono ai pivot di M') e non come mi aspetterei (r,0,0,0), (t,g,0,0).
Prende cioè i corrispondenti delle colonne con i pivot di M' ma come vettori di M. PErché ? non capisco proprio
@j18eos: Ho forse spiegato male il dubbio?
VOrrei davvero capire questa cosa.
Mi sembra un ragionamento abbastanza azzardato, dato che, per lo meno da come lo esponi, non si tengono conto degli eventuali scambi di colonna\riga!
Sbaglio io?
Sbaglio io?
Ecco, come dici tu scambiando per colonne non funziona, però per via empirica scambiando le righe mi funziona sempre (con tutte le 3 mosse di gauss per intenderci, funziona).
Però, caspita, se così fosse (cioè se fosse un metodo valido) vorrei dimostrarlo perché non mi accontendo di prove empiriche su casi finiti. Però, non riesco a giustificarmelo con i teoremi a me ora noti. Sicuramente date le tue conoscenze saprai chiarirmi il dubbio e confermarmi se è un "metodo azzardato" o ha fondamento.
Grazie mille per la pazienza!
Però, caspita, se così fosse (cioè se fosse un metodo valido) vorrei dimostrarlo perché non mi accontendo di prove empiriche su casi finiti. Però, non riesco a giustificarmelo con i teoremi a me ora noti
. Sicuramente date le tue conoscenze saprai chiarirmi il dubbio e confermarmi se è un "metodo azzardato" o ha fondamento.Grazie mille per la pazienza!
Io continuo a non essere d'accordo, e non capisco cosa non va!
Esempio: considero il sistema \(\displaystyle\left\{(0,1,0,0),(0,-1,0,0),(1,1,0,0)\in\mathbb{R}^4\right\}\); dispongo in matrice come indicato:
\[
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1\\
1 & -1 & 1\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\rightsquigarrow\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 1\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
se non tengo conto dello scambio di colonne, affermerei che i primi due vettori sono linearmente indipendenti, il che è banalmente falso!
Quindi, se si tenesse conto anche degli eventuali scambi di colonna allora il metodo proposto funzionerebbe; un modo per giustificarlo chiede l'uso del metodo dei minori orlati (che io detesto!).
Esempio: considero il sistema \(\displaystyle\left\{(0,1,0,0),(0,-1,0,0),(1,1,0,0)\in\mathbb{R}^4\right\}\); dispongo in matrice come indicato:
\[
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1\\
1 & -1 & 1\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\rightsquigarrow\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 1\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
se non tengo conto dello scambio di colonne, affermerei che i primi due vettori sono linearmente indipendenti, il che è banalmente falso!
Quindi, se si tenesse conto anche degli eventuali scambi di colonna allora il metodo proposto funzionerebbe; un modo per giustificarlo chiede l'uso del metodo dei minori orlati (che io detesto!).
Ma sai che non ho mica capito la tua riduzione, non riesco a trovarla in nessun modo partendo dalla prima matrice. Comunque la riduco (usando le 3 mosse di gauss) a me i pivot rimangono su prima e ultima colonna. Che corriespondono proprio a primo e ultimo vettore di quelli da te proposti e sono L.I.
PS:
Solo per sapere se sei a conoscenza della foto che ti ho mandato in PM, volevo sapere se avevi avuto modo di leggerla? Non per chissà quale motivo ma perché volevo capire per vedere se hai capito meglio il mio dubbio che sicuramente è spiegato meglio di quanto me fatto in quella pic.
PS:
Solo per sapere se sei a conoscenza della foto che ti ho mandato in PM, volevo sapere se avevi avuto modo di leggerla? Non per chissà quale motivo ma perché volevo capire per vedere se hai capito meglio il mio dubbio che sicuramente è spiegato meglio di quanto me fatto in quella pic.
Come prima mossa ho scambiato la prima e la terza colonna...
P.S.: sì, ho letto il tuo PM!
P.S.: sì, ho letto il tuo PM!
Ho capito cosa hai fatto, ma in realtà non sarebbe consentito dal metodo!
Dal metodo esposto non si possono scambiare le colonne. E non scambiando le colonne a me pare proprio che il metodo individui i vettori L.I: il primo e il terzo in ordine da quelli te proposti. Quindi non riesco a vederlo come controesempio ma solo come esempio che funziona, in quanto avresti fatto una mossa non consentita scambiando quelle colonne.
Mettiamola così: il metodo finora mi sembra funzionare per:
- scambio di righe
- moltiplicaizone di una riga per uno scalare
- combinazione lineare di un'altra riga sommata alla riga che vado a sostituire.
(uniche mosse possibili per come mi è stato spiegato)
E siccome finora mi pare funzionare credo sia dimostrabile o è solo una botta di popò che funzioni? Euristicamente non mi pare, ma non ho trovato da nessuna parte una traccia di questa ipotetica dimostrazione se non solo in quel link.
Tu che ne pensi?
Dal metodo esposto non si possono scambiare le colonne. E non scambiando le colonne a me pare proprio che il metodo individui i vettori L.I: il primo e il terzo in ordine da quelli te proposti. Quindi non riesco a vederlo come controesempio ma solo come esempio che funziona, in quanto avresti fatto una mossa non consentita scambiando quelle colonne.
Mettiamola così: il metodo finora mi sembra funzionare per:
- scambio di righe
- moltiplicaizone di una riga per uno scalare
- combinazione lineare di un'altra riga sommata alla riga che vado a sostituire.
(uniche mosse possibili per come mi è stato spiegato)
E siccome finora mi pare funzionare credo sia dimostrabile o è solo una botta di popò che funzioni? Euristicamente non mi pare, ma non ho trovato da nessuna parte una traccia di questa ipotetica dimostrazione se non solo in quel link.
Tu che ne pensi?
Mah... non puoi manco scambiare le colonne? Allora non è il metodo di rudizione a gradini! 
Come ho già scritto, si giustifica tutto col metodo dei minori!
Come ho già scritto, si giustifica tutto col metodo dei minori!
No, esatto, solo quelle tre mosse che ho riportato sarebbero consentite (con tale metodo ). In ogni caso con anche solo quelle 3 mosse arrivi sempre a una matrice a gradini.
Ah ok, perché prima avevo capito che si giustificasse con il medoto dei minori nel caso si scambiassero le colonne. E dato che, come ora detto, non si possono scambiare pensavo non si giustificasse più con quel metodo lì.
Insomma, in definitiva, si usa il metodo dei minori, però non ho ben capito come usarlo per giungere a una dimostrazione
.
). In ogni caso con anche solo quelle 3 mosse arrivi sempre a una matrice a gradini.Come ho già scritto, si giustifica tutto col metodo dei minori!
Ah ok, perché prima avevo capito che si giustificasse con il medoto dei minori nel caso si scambiassero le colonne. E dato che, come ora detto, non si possono scambiare pensavo non si giustificasse più con quel metodo lì.
Insomma, in definitiva, si usa il metodo dei minori, però non ho ben capito come usarlo per giungere a una dimostrazione
.
"Il_Gariboldi":Si può dimostrare che il metodo funziona, l'idea è che se tramite operazioni sulle righe passi dalla matrice $A$ alla matrice $B$ allora indicando con $A_1,...,A_n$ le colonne di $A$ e con $B_1,...,B_n$ le colonne di $B$, se $c_i$ sono scalari allora
Prende cioè i corrispondenti delle colonne con i pivot di M' ma come vettori di M. PErché ? non capisco proprio
$sum_(i=1)^n c_i A_i =0$ se e solo se $sum_(i=1)^n c_i B_i =0$
In altre parole le relazioni di dipendenza lineare tra le colonne sono preservate quando fai un'operazione di riga (attenzione, non sono ovviamente preservate quando fai operazioni di colonna). Questo è essenzialmente il motivo per cui, dopo aver ridotto a scalini (per righe), le colonne della matrice iniziale $A$ che stanno nelle posizioni dei pivot della ridotta $B$ formano una base dello spazio generato dalle colonne di $A$.
Grazie
però scusa, è preservata la lineare dipendenza, ma se sono linearmente indipendenti? Non dovrei voler anche che sia preservata quella? perché se ho tutti vettori L.I. voglio che tali rimangano prima e dopo...
però scusa, è preservata la lineare dipendenza, ma se sono linearmente indipendenti? Non dovrei voler anche che sia preservata quella? perché se ho tutti vettori L.I. voglio che tali rimangano prima e dopo...
No no piano, non hai capito (oppure io non mi sono spiegato), non ho detto che la dipendenza lineare è preservata. Quello che ho detto è
Quello che è preservato non è la dipendenza lineare, quello che è preservato è qualsiasi relazione di dipendenza lineare tra le colonne.
Per farti un esempio, supponiamo di passare da una matrice $A$ a una matrice ridotta $B$ tramite operazioni sulle righe (riduzione a scalini). Indichiamo con $A_1,...,A_n$ le colonne di $A$ e con $B_1,...,B_n$ le colonne di $B$. Ti faccio alcuni esempi di quello che intendo.
1. Se per esempio $A_1 = A_4$ allora $B_1 = B_4$.
2. Se per esempio $A_1+A_2 = A_5$ allora $B_1+B_2 = B_5$.
3. Se per esempio $A_1-3A_4+8A_6=0$ allora $B_1-3B_4+8B_6=0$.
4. Se per esempio $A_3=0$ allora $B_3=0$.
E' questo che sto dicendo. Ci sei fino a qui?
Bene, ora supponiamo che $B_1,B_3,B_5$ formino una base dello spazio generato dalle colonne di $B$. Allora possiamo scrivere $B_i = a_(i1)B_1+a_(i3)B_3+a_(i5)B_5$ per ogni $i=1,...,n$ e opportuni scalari $a_(ij)$. Per quanto ho scritto sopra (nel quote) ne deduciamo che anche $A_i = a_(i1)A_1+a_(i3)A_3+a_(i5)A_5$ per ogni $i=1,...,n$. Questo mostra che $A_1,A_3,A_5$ generano lo spazio generato dalle colonne di $A$, perché siamo riusciti ad esprimere qualsiasi colonna di $A$ come combinazione lineare di $A_1,A_3,A_5$.
Ora $A_1,A_3,A_5$ sono linearmente indipendenti perché se $a_1A_1+a_3A_3+a_5A_5=0$ per qualche $a_1,a_2,a_3$ scalari, allora per quanto scritto nel quote $a_1B_1+a_3B_3+a_5B_5=0$ e quindi, siccome ${B_1,B_3,B_5}$ è una base dello spazio-colonna di $B$, è in particolare linearmente indipendente e quindi $a_1=a_3=a_5=0$. Ne segue che ${A_1,A_3,A_5}$ è una base dello spazio generato dalle colonne di $A$.
Qui sopra ti ho fatto un esempio che però si generalizza nel modo ovvio a qualsiasi caso. In altre parole se $B_(i_1),...,B_(i_k)$ è una base dello spazio generato dalle colonne di $B$ allora $A_(i_1),...,A_(i_k)$ è una base dello spazio generato dalle colonne di $A$.
"Martino":
se tramite operazioni sulle righe passi dalla matrice $A$ alla matrice $B$ allora indicando con $A_1,...,A_n$ le colonne di $A$ e con $B_1,...,B_n$ le colonne di $B$, se $c_i$ sono scalari allora
$sum_(i=1)^n c_i A_i =0$ se e solo se $sum_(i=1)^n c_i B_i =0$
Quello che è preservato non è la dipendenza lineare, quello che è preservato è qualsiasi relazione di dipendenza lineare tra le colonne.
Per farti un esempio, supponiamo di passare da una matrice $A$ a una matrice ridotta $B$ tramite operazioni sulle righe (riduzione a scalini). Indichiamo con $A_1,...,A_n$ le colonne di $A$ e con $B_1,...,B_n$ le colonne di $B$. Ti faccio alcuni esempi di quello che intendo.
1. Se per esempio $A_1 = A_4$ allora $B_1 = B_4$.
2. Se per esempio $A_1+A_2 = A_5$ allora $B_1+B_2 = B_5$.
3. Se per esempio $A_1-3A_4+8A_6=0$ allora $B_1-3B_4+8B_6=0$.
4. Se per esempio $A_3=0$ allora $B_3=0$.
E' questo che sto dicendo. Ci sei fino a qui?
Bene, ora supponiamo che $B_1,B_3,B_5$ formino una base dello spazio generato dalle colonne di $B$. Allora possiamo scrivere $B_i = a_(i1)B_1+a_(i3)B_3+a_(i5)B_5$ per ogni $i=1,...,n$ e opportuni scalari $a_(ij)$. Per quanto ho scritto sopra (nel quote) ne deduciamo che anche $A_i = a_(i1)A_1+a_(i3)A_3+a_(i5)A_5$ per ogni $i=1,...,n$. Questo mostra che $A_1,A_3,A_5$ generano lo spazio generato dalle colonne di $A$, perché siamo riusciti ad esprimere qualsiasi colonna di $A$ come combinazione lineare di $A_1,A_3,A_5$.
Ora $A_1,A_3,A_5$ sono linearmente indipendenti perché se $a_1A_1+a_3A_3+a_5A_5=0$ per qualche $a_1,a_2,a_3$ scalari, allora per quanto scritto nel quote $a_1B_1+a_3B_3+a_5B_5=0$ e quindi, siccome ${B_1,B_3,B_5}$ è una base dello spazio-colonna di $B$, è in particolare linearmente indipendente e quindi $a_1=a_3=a_5=0$. Ne segue che ${A_1,A_3,A_5}$ è una base dello spazio generato dalle colonne di $A$.
Qui sopra ti ho fatto un esempio che però si generalizza nel modo ovvio a qualsiasi caso. In altre parole se $B_(i_1),...,B_(i_k)$ è una base dello spazio generato dalle colonne di $B$ allora $A_(i_1),...,A_(i_k)$ è una base dello spazio generato dalle colonne di $A$.
"Martino":
Ora $A_1,A_3,A_5$ sono linearmente indipendenti perché se $a_1A_1+a_3A_3+a_5A_5=0$ per qualche $a_1,a_2,a_3$ scalari, allora per quanto scritto nel quote $a_1B_1+a_3B_3+a_5B_5=0$ e quindi, siccome ${B_1,B_3,B_5}$ è una base dello spazio-colonna di $B$, è in particolare linearmente indipendente e quindi $a_1=a_3=a_5=0$. Ne segue che ${A_1,A_3,A_5}$ è una base dello spazio generato dalle colonne di $A$.
Illuminante questa parte, in effetti non avevo pensato che anche A1,A3,A5 quando l.i. posso scriverli con $a_1A_1+a_3A_3+a_5A_5=0$ e quindi se preservata e dimostro che a1=0=a3=a5 per i B lo è anche per gli A.
Grazie mille per la spieg.
Gentilissimo
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