Vettori linearmente indipendenti che costituiscono una base

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18 mag 2014, 19:27

Ciao a tutti

Durante la mia quotidiana esercitazione in vista dell'esame, mi sono imbattuto in un esercizio abbastanza ambiguo e avrei bisogno del vostro aiuto

Mi si chiede di dare una risposta tra VERO O FALSO (con relativa motivazione) affermando che i vettori (2,1,0) e (1,3,0) sono linearmente indipendenti e costituiscono una base di R^3.

So che dei vettori, per costituire una base di un certo R^n, devono essere della stessa quantità della dimensione di R(in questo caso 3, cioè avrei dovuto avere 3 vettori anzichè 2) e devono avere le stesse componenti(che in questo caso è vero).

Attendo risposta, grazie mille

Risposte

stormy1

18 mag 2014, 17:45

"Gius95":
Mi si chiede di dare una risposta tra VERO O FALSO (con relativa motivazione) affermando che i vettori (2,1,0) e (1,3,0) sono linearmente indipendenti e costituiscono una base di R^3.

non essendo veri entrambi i punti,l'affermazione è falsa
$ bar(A cap B)=barAuu bar(B) $

garnak.olegovitc1

18 mag 2014, 18:42

@Gius95,

"Gius95":
Ciao a tutti

Durante la mia quotidiana esercitazione in vista dell'esame, mi sono imbattuto in un esercizio abbastanza ambiguo e avrei bisogno del vostro aiuto

Mi si chiede di dare una risposta tra VERO O FALSO (con relativa motivazione) affermando che i vettori (2,1,0) e (1,3,0) sono linearmente indipendenti e costituiscono una base di R^3.

So che dei vettori, per costituire una base di un certo R^n, devono essere della stessa quantità della dimensione di R(in questo caso 3, cioè avrei dovuto avere 3 vettori anzichè 2) e devono avere le stesse componenti(che in questo caso è vero).

Attendo risposta, grazie mille

quello che dici è esatto!

Precisamente hai applicato il teorema della dimensione: in particolare ti occorre un sistema di vettori liberi il cui numero è esattamente $3 $ per dire che sono anche base per $ \Bbb{R}^3 $.. nel tuo caso hai $2 $ vettori liberi, quindi quanto ho detto prima non puoi applicare ma sai che ogni altra base per $ \Bbb{R}^3 $ deve avere $3 $ vettori, ergo se supponi che il tuo sistema di due vettori è base per $ \Bbb{R}^3 $ allora si contraddice il fatto che ogni altra base per $ \Bbb{R}^3 $ deve avere $3 $ vettori..

(in effetti puoi considerare solo quest'ultima parte nella tua motivazione ma volevo marcare il fatto che hai comunque due vettori liberi; potevi vedere anche se il tuo sistema generava tutto $ \Bbb{R}^3 $ e da ciò capire se è anche base per $ \Bbb{R}^3 $)

in conclusione non è base!