Vettori linearmente indipendenti
La mia domanda è sicuramente stupida, ma esiste un altro modo, differente da quello che ho usato, (che spero sia giusto tra l'altro!!) per dimostrare quanto segue??
Dimostrare che due vettori $(a; b);(c; d)$ in $\mathbb{K}^2$ sono linearmente indipendenti se e
solo se $ad - bc \ne0.$
Mia soluzione:
Affinchè i vettori risultino linearmente indipendenti deve essere
\begin{align*}
\lambda (a,b) +\mu(c, d) ={\bf 0}_{\mathbb{K}^2}=(0,0)
\end{align*}
per $\lambda=\mu=0;$ la combinazione lineare dei due vettori di $\mathbb{K}^2$ equivale al sistema:
\begin{align*}
\Sigma= \begin{cases}\lambda a+ \mu c=0\\
\lambda b+ \mu d=0
\end{cases}
\end{align*}
poichè questo sistema ammette soluzione banale, cioè $\lambda=\mu=0,$ se il determinante della matrice associata al sitema risulta diverso da zero, avremo $\det\Sigma\ne0 \Leftrightarrow ad - bc \ne0;$ in tal caso i due vettori risultano linearmente indipendenti se e solo se $ad - bc \ne0.$
Dimostrare che due vettori $(a; b);(c; d)$ in $\mathbb{K}^2$ sono linearmente indipendenti se e
solo se $ad - bc \ne0.$
Mia soluzione:
Affinchè i vettori risultino linearmente indipendenti deve essere
\begin{align*}
\lambda (a,b) +\mu(c, d) ={\bf 0}_{\mathbb{K}^2}=(0,0)
\end{align*}
per $\lambda=\mu=0;$ la combinazione lineare dei due vettori di $\mathbb{K}^2$ equivale al sistema:
\begin{align*}
\Sigma= \begin{cases}\lambda a+ \mu c=0\\
\lambda b+ \mu d=0
\end{cases}
\end{align*}
poichè questo sistema ammette soluzione banale, cioè $\lambda=\mu=0,$ se il determinante della matrice associata al sitema risulta diverso da zero, avremo $\det\Sigma\ne0 \Leftrightarrow ad - bc \ne0;$ in tal caso i due vettori risultano linearmente indipendenti se e solo se $ad - bc \ne0.$
Risposte
Sicuramente la tua dimostrazione è giusta. Bella la citazione da Hilbert... 
Ciao!
Ciao!
"DavideGenova":
Sicuramente la tua dimostrazione è giusta. Bella la citazione da Hilbert...
Ciao!
...grazie!
...quindi si dimostra cosi diciamo, non ci sono altre vie "eleganti"
"Sergio":
[quote="Noisemaker"]...quindi si dimostra cosi diciamo, non ci sono altre vie "eleganti"
A me la tua dimostrazione non sembra affatto "poco elegante"
[/quote] ...
scusate la domanda se la pongo qui, ma è un mio dubbio:
per
$K^2$ si intende il prodotto cartesiano tra le coppie di $(a,b)$ di $K$ e $(c,d)$ di $K$
giusto?
per
$K^2$ si intende il prodotto cartesiano tra le coppie di $(a,b)$ di $K$ e $(c,d)$ di $K$
giusto?
"ludwigZero":
scusate la domanda se la pongo qui, ma è un mio dubbio:
per
$K^2$ si intende il prodotto cartesiano tra le coppie di $(a,b)$ di $K$ e $(c,d)$ di $K$
giusto?
Si ha \[\displaystyle \mathbb{K}^2=\mathbb{K} \times \mathbb{K}= \{ (a,b) \; | \; a, b \in \mathbb{K} \} \] ma potrebbesi anche avere, per esempio \[\displaystyle \mathbb{R} \times \mathbb{N} = \{ (r,n) \; | \; r \in \mathbb{R}, \; n \in \mathbb{N} \} \]
Non so se questa esemplificazione chiarisce il tuo dubbio.
ok, quindi stiamo parlando di 'coppia' appartenente ad uno spazio vettoriale ( $K$ ) ad esempio.
\(\displaystyle \mathbb{K} \) non è uno spazio vettoriale, quanto, normalmente, un campo.
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