Vettori linearmente indipendenti

[bepperossi]

Salve a tutti!!Dati i due vettori $ (1,1) ; (3;1)$ verificare che essi sono linearmente indipendenti.
Inoltre sia $(a,b) = x(1,1)+y(3,1)$ che valore devono avere i coefficienti moltiplicativi $x$ e $y$ per ottenere $(a,b)$ ??
Per il primo punto non ho avuto grosse difficoltà,ho risolto impostando il sistema;invece per il secondo non ho nessuna idea...qualcuno mi può aiutare?? Grazie in anticipo

[Cuspide83]

Devi sempre risolvere il sistema

$(a,b)=x(1,1)+y(3,1)=(x,x)+(3y,y)=(x+3y,x+y)$

$\{(a=x+3y),(b=x+y):}$

[bepperossi]

Grazie mille!!

[21zuclo]

ti dico la definizione

Sia $V$ un sp. vettoriale sul campo $\mathbb{K}$ e siano $ \ul(v_1),......., \ul(v_m)\in V $;
diamo che $ \ul(v_1),......., \ul(v_m) $ sono linearmente dipendenti su $\mathbb{K}$ se in $\mathbb{K}$
esistono $n$ elementi $a_1,.... , a_m$ non tutti nulli tali che $ a_1\ul(v_1)+.......+ a_m\ul(v_m)=0 $

sono linearmente indipendenti se
$ a_1\ul(v_1)+.......+ a_m\ul(v_m)=0 \to (a_1,...., a_m)=(0,....,0)$

quella è la definizione che mi è stata data a lezione.. ad esercitazione ho visto un altro criterio con le matrici..

tipo mi è stato detto

Siano dati k vettori in $\mathbb{R^n}$ con $n=2$ oppure $n=3$, essi sono linearmente indipendenti se e solo se la matrice ad essi formata ha rango k

Tipo per esempio
$ \ul(v_1)=((1),(0),(2)), \ul(v_2)=((3),(-1),(1)), \ul(v_3)=((0),(1),(-2)) $ sono linearmente indipendenti poichè


$ det ( ( 1 , 3 , 0 ),( 0 , -1 , 1 ),( 2 , 1 , -2 ) )=7\ne 0 $

se non ti sai gestire così.. puoi risolvere questo

$ a\ul(v_1)+b\ul(v_2)+c \ul(v_3)=\ul(0) $

vedrai che ti usciranno $a=b=c=0$, cioè sono linearmente indipendenti..

Nel tuo caso è

$ det ( ( 1 , 1 ),( 3 , 1 ) ) =1-3=-2\ne 0 $

oppure se preferisci vedilo $ a((1),(1))+b((3),(1))=0 $

OPPURE puoi concludere che sono linearmente indipendenti, perchè NESSUNO è multiplo dell'altro..

Spero che hai capito

poi va bé l'esercitatore ci ha fatto vedere vettori in $\mathbb{R^4}$ tipo..oppure alcune volte capitava in $\mathbb{R^5}$, ma praticamete è la stessa ed identica cosa..

[garnak.olegovitc1]

@21zuclo,

"21zuclo":ti dico la definizione

Sia $V$ un sp. vettoriale sul campo $\mathbb{K}$ e siano $ \ul(v_1),......., \ul(v_m)\in V $;
diamo che $ \ul(v_1),......., \ul(v_m) $ sono linearmente dipendenti su $\mathbb{K}$ se in $\mathbb{K}$
esistono $n$ elementi $a_1,.... , a_m$ non tutti nulli tali che $ a_1\ul(v_1)+.......+ a_m\ul(v_m)=0 $

sono linearmente indipendenti se
$ a_1\ul(v_1)+.......+ a_m\ul(v_m)=0 \to (a_1,...., a_m)=(0,....,0)$

quella è la definizione che mi è stata data a lezione.. ad esercitazione ho visto un altro criterio con le matrici..

tipo mi è stato detto

Siano dati k vettori in $\mathbb{R^n}$ con $n=2$ oppure $n=3$, essi sono linearmente indipendenti se e solo se la matrice ad essi formata ha rango k

Tipo per esempio
$ \ul(v_1)=((1),(0),(2)), \ul(v_2)=((3),(-1),(1)), \ul(v_3)=((0),(1),(-2)) $ sono linearmente indipendenti poichè


$ det ( ( 1 , 3 , 0 ),( 0 , -1 , 1 ),( 2 , 1 , -2 ) )=7\ne 0 $

se non ti sai gestire così.. puoi risolvere questo

$ a\ul(v_1)+b\ul(v_2)+c \ul(v_3)=\ul(0) $

vedrai che ti usciranno $a=b=c=0$, cioè sono linearmente indipendenti..

Nel tuo caso è

$ det ( ( 1 , 1 ),( 3 , 1 ) ) =1-3=-2\ne 0 $

oppure se preferisci vedilo $ a((1),(1))+b((3),(1))=0 $

OPPURE puoi concludere che sono linearmente indipendenti, perchè NESSUNO è multiplo dell'altro..

Spero che hai capito

poi va bé l'esercitatore ci ha fatto vedere vettori in $\mathbb{R^4}$ tipo..oppure alcune volte capitava in $\mathbb{R^5}$, ma praticamete è la stessa ed identica cosa..

fai prima dicendo che i vettori sono linearmente dipendenti se non sono linearmenti indipendenti, ovvero se l'implicazione che hai scritto "\(a_1v_1+.......+ a_mv_m=0 \to (a_1,...., a_m)=(0,....,0)\)" è falsa! Il fatto di valutare la matrice che ha per colonna i vettori di \( \bf{K}^n \), con \( \bf{K} \) campo, non è certo cosa venuta dal cielo.. (prova a dimostrarlo, noterai che quanto detto dal tuo docente e fatto a lezione come esercizio è conseguenza diretta della definizione di lineare indipendenza)..

Saluti