Vettori linearmente indipendenti
Ciao a tutti, spero che mi possiate aiutare nella risoluzione di questo esercizio poichè non so quali passaggi effettuare per arrivare alla soluzione. L'esercizio in questione è
1) Dati i vettori x=(2;4;0) .. y=(4;6;0) .. z=(2;2;a) .. per quale valore di a i vettori sono linearmente indipendenti?
Un altro esercizio quasi identico è questo:
2) Dati i vettori x=(a;1;1) .. y=(a;0;1) .. per quale valore di a i vettori sono linearmente indipendenti?
Vi ringrazio tantissimo per l'eventuale risposta
1) Dati i vettori x=(2;4;0) .. y=(4;6;0) .. z=(2;2;a) .. per quale valore di a i vettori sono linearmente indipendenti?
Un altro esercizio quasi identico è questo:
2) Dati i vettori x=(a;1;1) .. y=(a;0;1) .. per quale valore di a i vettori sono linearmente indipendenti?
Vi ringrazio tantissimo per l'eventuale risposta
Risposte
Qualche idea tua ? Almeno un tentativo di soluzione...
"Camillo":
Qualche idea tua ? Almeno un tentativo di soluzione...
Ciao Camillo.. allora io arrivo a questo punto e poi non so "interpretare" il risultato. Ad esempio l'esercizio
2) Dati i vettori x=(a;1;1) .. y=(a;0;1) .. per quale valore di a i vettori sono linearmente indipendenti?
Se ho capito bene, bisogna creare un sistema del tipo \alpha (a;1;1;)+ \beta (a;0;1) = (0;0;0) e capire cioè quanto vale il coefficente \alpha e il coefficente \beta .
Svolgendo il sistema arrivo a questa dicitura
$ a * \alpha + a * \beta = 0 $
$ \alpha = 0 $
$ \beta = 0 $
Che cosa significa? Ho interpretato che qualsiasi numero io metta al posto di a, il risultato del sistema è appunto (0;0;0) e quindi linearmente indipendente. Ma è giusto il procedimento e il ragionamento?
Nel primo esercizio invece,
1) Dati i vettori x=(2;4;0) .. y=(4;6;0) .. z=(2;2;a) .. per quale valore di a i vettori sono linearmente indipendenti?
L'ho svolto sostanzialmente come l'altro, ovvero moltiplicando i tre vettori per 3 coefficenti e mettendoli a sistema. E arrivo a questa scrittura finale:
$ \alpha = \gamma $
$ \beta = - \gamma $
$ \gamma * a = 0 $
E ora..?
Sicuramente sbaglierò un bel po di cose.. help!
Due vettori $ bar x$,$bar y $ sono LIN INDIP se l'unica loro combinazione lineare $alpha bar x + beta bar y $ che dia il vettore nullo $bar 0 $ è quella con tutti i coefficienti nulli , cioè solo quella con $alpha=beta=0 $
2) $alpha (a,1,1)+beta(a,0,1)=(0,0,0)$ da cui :
$ alpha* a + beta *a =0 $
$alpha=0$
$ alpha+beta=0 $
e quindi la soluzione del sistema è $ alpha =0 , beta=0 $ ed $a $ qualunque
2) $alpha (a,1,1)+beta(a,0,1)=(0,0,0)$ da cui :
$ alpha* a + beta *a =0 $
$alpha=0$
$ alpha+beta=0 $
e quindi la soluzione del sistema è $ alpha =0 , beta=0 $ ed $a $ qualunque
"Camillo":
Due vettori $ bar x$,$bar y $ sono LIN INDIP se l'unica loro combinazione lineare $alpha bar x + beta bar y $ che dia il vettore nullo $bar 0 $ è quella con tutti i coefficienti nulli , cioè solo quella con $alpha=beta=0 $
2) $alpha (a,1,1)+beta(a,0,1)=(0,0,0)$ da cui :
$ alpha* a + beta *a =0 $
$alpha=0$
$ alpha+beta=0 $
e quindi la soluzione del sistema è $ alpha =0 , beta=0 $ ed $a $ qualunque
Perciò il procedimento che svolgevo a quanto pare era giusto.. e per quanto riguarda il primo esercizio ? Probabilmente mi blocco su qualche banalità del sistema.. o non so interpretarlo
Esercizio 1 ) Analogamente si ha il sistema
$ alpha (2,4,0) +beta (4,6,0) +gamma ( 2,2,a)=(0,0,0) $ da cui
$ 2alpha +4 beta +2 gamma =0 $
$4alpha+6beta+2gamma =0 $
$ a*gamma = 0 $
Se fosse $a =0 $ allora dalla terza equazione si deduce che $ gamma $ può essere qualunque e quindi non si ha indipendenza lineare ( in quanto $ gamma ne 0 $ ).
Se invece è $ a ne 0 $ allora ne segue $ gamma =0 $ e resta da risolvere il sistema :
$ alpha+2beta =0 $
$ 2 alpha +3 beta =0 $
che ha come unica soluzione $ alpha=beta=0 $
Conclusione : se $ a ne 0 $ i tre vettori sono lin indip .
Se conosci cosa sia e come si calcola il rango di una matrice esiste un metodo più semplice per determinare se e in quali condizioni dei vettori sono lin indip.
Basta affiancare in una matrice i vettori ( nel caso sono 3 ) e valutare il rango della matrice .
$((2,4,0),(4,6,0),(2,2,a))$
Se il rango è massimo cioè 3 allora i 3 vettori sono lin indip.
In questo caso la matrice è quadrata e ne calcolo il determinante che vale $a (12-16)=-4a $ perché la matrice abbia rango 3 bisogna che il determinante sia $ne 0 $ cioè $ a ne 0 $
CVD
$ alpha (2,4,0) +beta (4,6,0) +gamma ( 2,2,a)=(0,0,0) $ da cui
$ 2alpha +4 beta +2 gamma =0 $
$4alpha+6beta+2gamma =0 $
$ a*gamma = 0 $
Se fosse $a =0 $ allora dalla terza equazione si deduce che $ gamma $ può essere qualunque e quindi non si ha indipendenza lineare ( in quanto $ gamma ne 0 $ ).
Se invece è $ a ne 0 $ allora ne segue $ gamma =0 $ e resta da risolvere il sistema :
$ alpha+2beta =0 $
$ 2 alpha +3 beta =0 $
che ha come unica soluzione $ alpha=beta=0 $
Conclusione : se $ a ne 0 $ i tre vettori sono lin indip .
Se conosci cosa sia e come si calcola il rango di una matrice esiste un metodo più semplice per determinare se e in quali condizioni dei vettori sono lin indip.
Basta affiancare in una matrice i vettori ( nel caso sono 3 ) e valutare il rango della matrice .
$((2,4,0),(4,6,0),(2,2,a))$
Se il rango è massimo cioè 3 allora i 3 vettori sono lin indip.
In questo caso la matrice è quadrata e ne calcolo il determinante che vale $a (12-16)=-4a $ perché la matrice abbia rango 3 bisogna che il determinante sia $ne 0 $ cioè $ a ne 0 $
CVD
"Scremino":
3) Per quale valore di $ a $ il vettore ha norma Unitaria $ x= (a;1;3) $ ?
Ora, la norma so che si calcola come $ || x || = \sqrt{a^2 + 1^2 + 3^2} $ .. giusto? Però dato che non conosco appunto il valore di $ a $ , quale è l'operazione per poterlo estrapolare?
4) Per quale valore di $ a $ i vettori $ x = (a;1;0) $ e $ y = (a;0;1) $ sono ortogonali ?
Ciao,
3) ti dice che la norma deve essere unitaria: imponi che quella radice sia uguale a $1$
4) imponi che il prodotto scalare tra i due vettori sia nullo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo