Vettori linearmente indipendenti

[Venosino1]

Ciao a tutti, sono nuovo nel forum.
Mi servirebbe un aiuto con un esercizio di algebra, o meglio sapere se l'ho svolto correttamente.
L'esercizio è:
Si determini per quali valori del parametro h i seguenti vettori di R^4
u(1,1,h,1)
v(3h,-1,1,3)
w(0,-1,1,0)
sono linearmente indipendenti.

Risposte:
a) mai
b) Perogni h appartenente ad R
c) solo h=1
d) h diverso da 1

Ora, dei vettori sono lin indip se accade che $a_1$u+$a_2$v+$a_3$w=0 => $a_1$=$a_2$=$a_3$=0
quindi
($a_1$,$a_1$,h$a_1$,$a_1$) + (3h$a_2$,-$a_2$,$a_2$,3$a_2$) + (0,-$a_3$,$a_3$,0) = (0,0,0,0)

Scrivo il sistema
| $a_1$ + 3h$a_2$ = 0
| $a_1$ - $a_2$ - $a_3$ = 0
|h$a_1$ + $a_2$ + $a_3$ = 0
| $a_1$ + 3$a_2$ = 0

Dunque, sono 4 equazioni in 3 incognite.
Affinchè le eq siano lin indip il rango della matrice incompleta dovrebbe essere 3.
Calcolo rispetto al minore
1 3h 0
1 -1 -1
h 1 1

E mi viene, rispetto alla 3° colonna, -3h^2 - 3h.
Devo vedere quando è diverso da zero, e mi viene per h diverso da zero e h diverso da -1, e non mi trovo con le risposte...

[retrocomputer]

Non devi anche calcolare il determinante di altri minori 3x3?
Se non sbaglio con quello formato dalle righe 1,3,4 dovresti concludere...

[Venosino1]

Si ecco, con il minore delle righe 1,2,3 e quello delle righe 2,3,4 viene h diverso da -1, con quello delle righe 1,3,4 viene h diverso da 1.
Quindi la risposta dovrebbe essere "per ogni h" perchè con h=-1 il minore 1,3,4 ha rango 3, con h=1 lo hanno i minori 1,2,3 e 2,3,4.
Grazie!