Vettori Linearmente Dipendenti e Linearmente Indipendenti

[Sylent]

Salve ragazzi, come faccio a capire se questi vettori sono linearmente dipendenti o indipendenti fra loro?

(2,1,3) e (1,1,2)

(4,2,6) e (6,3,9)

(0,0,0) e (1,1,2)

Grazie

[niccoset]

In questo caso è particolarmente semplice perchè i vettori sono solo due. Infatti, dalla definizione di lineare dipendenza si ha che due vettori sono linearmente dipendenti se e solo se sono paralleli.
Dunque i primi due vettori sono linearmente indipendenti, i secondi sono linearmente dipendenti e i terzi sono linearmente dipendenti poichè il vettore nullo è parallelo a qualsiasi altro vettore.

Ti consiglio comunque di capire bene le definizioni di combinazione lineare e lineare dipendenza/indipendenza perchè sono di fondamentale importanza.

[minomic]

Concordo con tutto quello che ha detto niccoset.
Aggiungo un'osservazione di carattere pratico: quando hai una coppia di vettori e vuoi capire se sono linearmente dipendenti o indipendenti ti basta prendere i primi elementi dei due vettori e chiederti "Per cosa devo moltiplicare/dividere per passare da uno all'altro?" Poi vedi se, con la stessa operazione, riesci a passare dal secondo elemento del primo vettore al secondo elemento del secondo vettore, e così via.

Ad esempio la seconda coppia: per passare da $4$ a $6$ devi moltiplicare per $3/2$. Bene. Ora ci chiediamo: se prendo $2$ e lo moltiplico per $3/2$ ottengo $3$? La risposta è sì. Infine ci chiediamo: se prendo $6$ e lo moltiplico per $3/2$ ottengo $9$? Ancora la risposta è sì. Quindi i vettori sono linearmente dipendenti.

Guardiamo invece la prima coppia: per passare da $2$ a $1$ devi dividere per $2$. Ora chi chiediamo: se prendo $1$ e lo divido per $2$ ottengo $1$? Chiaramente la risposta è no, quindi i vettori sono linearmente indipendenti.

CIao.