Vettori linearmente dipendenti e indipendenti

[pitrineddu90]

Quali metodi esistono per verificare che dei vettori sono linearmente dipendenti o indipendenti ? Grazieeee

[blackbishop13]

lavoriamo in uno spazio vettoriale $V$ sul campo $K$, di dimensione finita $n$.
hai $m$ vettori di questo spazio, vuoi verificare la dipendenza lineare.
allora puoi avere le seguenti situazioni:

$m>n$ : allora sicuramente i vettori sono lin. dip. sai perchè?

$m=n$ : allora ti scrivi la matrice associata alle coordinate dei vettori rispetto ad una base (ovvero la matrice che ha per colonne i vettori coordinate di ciascuno dei tuoi $m$ vettori, coordinate rispetto ad una generica base) e calcoli il determinante di tale matrice.
e poi, cosa ne ricavi?

$m

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[Paolo902]

Due osservazioni aggiuntive molto sciocche.

"blackbishop13":
$m=n$ : allora ti scrivi la matrice associata alle coordinate dei vettori rispetto ad una base (ovvero la matrice che ha per colonne i vettori coordinate di ciascuno dei tuoi $m$ vettori, coordinate rispetto ad una generica base) e calcoli il determinante di tale matrice.
e poi, cosa ne ricavi?

Equivalentemente puoi calcolarne il rango...
Sono perfettamente consapevole del gioco di equivalenze che c'è tra determinante e rango; ho voluto citare però questo fatto perchè secondo me, se si usa il rango, non si deve distinguere il caso $m=n$ dal caso $m
Infatti, oltre a questo metodo "algoritmico" di cui parla bishop,

$m

(che io ho studiato come "metodo degli scarti successivi") penso sia più rapido (ma ripeto del tutto equivalente) prendere una matrice di $m$ righe e $n$ colonne così costruita: ogni riga* è data dalla componenti dei vettori che stai studiando.

Calcolando il rango (qui se $m < n$ non puoi studiare il det) trovi quanti dei tuoi vettori sono l.i. (e se sei fortunato anche quali).

Spero di non aver confuso le idee. Perdonatemi in tal caso.




______________

* Ho detto riga, ma sia chiaro che puoi anche metterli in colonna: per fortuna, il rango di una matrice coincide con quello della sua trasposta.

[pitrineddu90]

Ho degli esercizi da fare su queste cose. Dimmi se il procedimento che faccio è giusto.
Allora, io ho un sottospazio vettoriale V=$K^2$[x].

S={$1-x^2$,$x-x^2$,$-1+2x-x^2$}.

per verificare che i vettori siano linearmente dipendenti o meno, ho seguito questo procedimento :

a1($1-x^2$)+a2($x-x^2$)+a3($-1+2x-x^2$);

facendo i conti viene:

(a1-a3)+(a2-2(a3))$x$+(-a1-a2-a3)$x^2$;

Lo pongo uguale al vettore (0,0,0)

e facendo il sistema a 3 incognite mi dà come risultato

a1=a3=a2/2.
a4=0.

E' il metodo che devo adottare ?
Se sì, quali sono i vettori dipendenti ?
Grazieeeeee

[blackbishop13]

beh in effetti il rango è proprio quell'applicazione che ti dice quanti vettori ci sono lin indipendenti.....
quindi dal punto di vista teorico la risposta è di certo: calcola il rango della matrice associata ai vettori, vero dovevo dirlo.

ma il punto è, come lo calcoli il rango? nella pratica voglio dire, bisogna dare dei metodi algoritmici, te lo calcoli a mano, giusto?

(non sono molto pratico dell'algebra lineare, quindi ci provo, ma non è detto che mi venga subito l'idea migliore )

[blackbishop13]

per non sovrapporci, questo messaggio lo dedico all'esercizio:

prima cosa: scrivi con le formule, così si capisce poco.
poi compare nelle soluzioni un $a_4$ che non dovrebbe esistere...
però guardando le prime tre incognite, $a_1 , a_2 , a_3$ si vede che i vettori non sono lin indip (qui potevi calcolare il determinante della matrice)
ma così facendo hai già trovato la relazione di dipendenza: infatti tu hai un sistema, in cui le incognite sono appunte le tre $a$,
sosituisci i valori trovati, e ti trovi un vettore in funzione degli altri due (portandone uno a secondo membro)

la tua domanda, quali sono lin dip mostra che hai le idee poco chiare: se nessun vettore è multiplo di un altro, vuol dire che sono tutti e tre lin dip, appunto puoi esprimere uno qualsiasi dei tre come combinazione degli altri due.

[Paolo902]

"blackbishop13":beh in effetti il rango è proprio quell'applicazione che ti dice quanti vettori ci sono lin indipendenti.....
quindi dal punto di vista teorico la risposta è di certo: calcola il rango della matrice associata ai vettori, vero dovevo dirlo.

ma il punto è, come lo calcoli il rango? nella pratica voglio dire, bisogna dare dei metodi algoritmici, te lo calcoli a mano, giusto?

(non sono molto pratico dell'algebra lineare, quindi ci provo, ma non è detto che mi venga subito l'idea migliore )

E' questione di filosofia

Vedi, bishop, abbiamo solo due modi diversi di vedere la stessa cosa: penso che ciò sia normale, specie in fatto di algebra lineare.

Io non penso di avere la tua stessa definizione di rango.

Lungo il corso di geometria e algebra lineare che sto seguendo ne ho già trovate diverse, ma non ancora la tua (ho iniziato l'altro giorno le applicazioni lineari).

Ti spiego come ho visto io le cose: nei primi giorni del corso, ho studiato come calcolare il rango di una matrice algoritmicamente (=riduci per righe la matrice e conti il numero di righe non nulle: se devo dilungarmi di più su questo fatto dimmelo pure). A quel tempo, però, la matrice altro non era che una tabella di numeri (magari associati ad un sistema lineare): nulla di più.

Poi ho studiato il determinante e ho capito che per una matrice quadrata di ordine $n$ essere invertibile equivale ad avere determinante non nullo il che equivale ad avere rango massimo.

Poi ho studiato spazi e sottospazi: in particolare, ho visto che cos'è lo spazio delle righe e quello delle colonne di una matrice: questa è per me LA definizione di rango: chiamo rango di una matrice A la dimensione comune dello spazio delle righe e di quello delle colonne di una matrice.

Ecco tutto: sono abituato a considerare questa come la definizione, le altre come enunciati equivalenti (ad esempio, a lezione non abbiamo visto il rango come massimo ordine di un minore non nullo, ma c'è anche quello). Ripeto è solo uno schema di ragionamento il mio, è solo una forma mentis che ho acquisito facendo geometria 8 ore alle settimana

Ti porgo le mie scuse se ho frainteso quello che tu volevi dire; spero solo di aver fatto un po' di chiarezza

[blackbishop13]

ovviamente, il rango per righe è definito come dimensione del sottospazio generato dalle righe, e uguale il rango per colonne, poi si dimostra che sono uguali, e quindi si parla di rango senza specificare.
ovviamente, ciò implica che il rango sia proprio il numero di vettori indipendenti tra quelli considerati, visto che sono già un insieme di generatori del sottospazio.

il punto è che questo dice tutto e niente su come calcolarlo.

[Gatto891]

"blackbishop13":
Ma il punto è, come lo calcoli il rango? nella pratica voglio dire, bisogna dare dei metodi algoritmici, te lo calcoli a mano, giusto?

Se ad occhio non si vede, c'è sempre http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Kronecker (o teorema dei minori orlati, come lo chiamavo io)

[Paolo902]

Io uso la riduzione per righe.

Prendo la matrice e cerco di fare in modo che su ogni riga non nulla ci sia un elemento non nullo al di sotto del quale ci sono tutti zero: il tutto usando le tre operazioni consentite sulle righe (le tre operazione già considerate con i sistemi lineari e Rouchè-Capelli).