Vettori linearmente dipendenti
Come si passa da:
Sia V uno spazio vettoriale sul corpo K è siano v1,...,vn elementi di V. Noi diremo che v1,...,vn sono linearmente dipendenti su K se in K esistono n elementi a1,...,an, non tutti nulli, tali che :
a1v1+...+anvn=O
(Quindi almeno un vettore è nullo o non per forza, perché potrebbe annullarsi nella somma con uno opposto opportunamente scalato?)
A:
Se w=v1a1,...,van, con ai non tutti nulli, allora w, v1...vn sono linearmente dipendenti
Come sono collegate le due definizioni? (In particolare non ho capito perché la seconda è necessariamente vera)
questo non mi permette di capire il teorema pg 48 del serge lang
Sia V uno spazio vettoriale sul corpo K è siano v1,...,vn elementi di V. Noi diremo che v1,...,vn sono linearmente dipendenti su K se in K esistono n elementi a1,...,an, non tutti nulli, tali che :
a1v1+...+anvn=O
(Quindi almeno un vettore è nullo o non per forza, perché potrebbe annullarsi nella somma con uno opposto opportunamente scalato?)
A:
Se w=v1a1,...,van, con ai non tutti nulli, allora w, v1...vn sono linearmente dipendenti
Come sono collegate le due definizioni? (In particolare non ho capito perché la seconda è necessariamente vera)
questo non mi permette di capire il teorema pg 48 del serge lang
Risposte
w=v1a1,...,vnan
O=w*1,v1a1,...,vnan
1 è diverso da zero
O=w*1,v1a1,...,vnan
1 è diverso da zero
uno uno spazio vettoriale deve avere per forza una base?
Ciao,
Almeno un vettore è nullo oppure uno dei vettori è combinazione lineare degli altri.
Quest'ultima non è una definizione ma un fatto, comunque se $w = a_1v_1 + ... a_nv_n$ allora $w - a_1v_1 - ... - a_nv_n = 0$, dunque hai trovato una combinazione lineare non tutta nulla dei vettori $w, v_1, ..., v_n$ che ti dà il vettore nullo quindi i vettori sono linearmente dipendenti.
Non ho capito cosa vuoi dire con questo messaggio.
Sì ogni spazio vettoriale possiede una base, la dimostrazione di questo fatto fa uso del lemma di zorn.
Per spazi finitamente generati è possibile evitare l'uso del lemma di zorn: basta applicare l'algoritmo di estrazione di una base finita.
"Lavinia Volpe":
(Quindi almeno un vettore è nullo o non per forza, perché potrebbe annullarsi nella somma con uno opposto opportunamente scalato?)
Almeno un vettore è nullo oppure uno dei vettori è combinazione lineare degli altri.
Se w=v1a1,...,van, con ai non tutti nulli, allora w, v1...vn sono linearmente dipendenti
Come sono collegate le due definizioni?
Quest'ultima non è una definizione ma un fatto, comunque se $w = a_1v_1 + ... a_nv_n$ allora $w - a_1v_1 - ... - a_nv_n = 0$, dunque hai trovato una combinazione lineare non tutta nulla dei vettori $w, v_1, ..., v_n$ che ti dà il vettore nullo quindi i vettori sono linearmente dipendenti.
"Lavinia Volpe":
w=v1a1,...,vnan
O=w*1,v1a1,...,vnan
1 è diverso da zero
Non ho capito cosa vuoi dire con questo messaggio.
"Lavinia Volpe":
uno uno spazio vettoriale deve avere per forza una base?
Sì ogni spazio vettoriale possiede una base, la dimostrazione di questo fatto fa uso del lemma di zorn.
Per spazi finitamente generati è possibile evitare l'uso del lemma di zorn: basta applicare l'algoritmo di estrazione di una base finita.
mi ero risposta da sola dimenticando i meno.
mentre, per quanto riguarda la prima domanda, dicevo che il risultato può essere O anche se nessun vettore è nullo e i prodotti sono tali che i risultati si annullino tra loro. Comunque sto cominciando adesso a studiare algebra lineare
Vedrò l'algoritmo di estrazione di una base finita
Grazie
mentre, per quanto riguarda la prima domanda, dicevo che il risultato può essere O anche se nessun vettore è nullo e i prodotti sono tali che i risultati si annullino tra loro. Comunque sto cominciando adesso a studiare algebra lineare
Vedrò l'algoritmo di estrazione di una base finita
Grazie
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