Vettori isotropi di una forma bilineare

[sisko87]

salve, cerco aiuto per svolgere l'ultimo punto di questo esercizio in quanto il materiale didattico in mio possesso è poco chiaro sul calcolo dei vettori isotropi:

sia $phi: RR^3 x RR^3 rarr RR^3$ la forma bilineare definita nel modo seguente:

$phi((x,y,z);(x',y',z'))= xy'+x'y+zz'$

-determinare la matrice Gram G canonicamente associata a $phi$ e una matrice diagonale congruente a G
-stabilire se $phi$ ammette vettori isotropi. In caso affermativo, esibirne uno.

allora la matrice Gram canonicamente associata a $phi$ è $ G=| ( 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) | $ e una sua matrice diagonale congruente è $D= | ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , -1/2 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) | $

G ammette vettori isotropi poichè $det(0)=0$ gli altri sono $det| ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) |=-1$ e $ det| ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) |=1$

a questo punto come calcolo i vettori isotropi?

[mistake89]

Io proverei sui vettori della base canonica dapprima e con un po' di occhio te la dovresti cavare.
Infatti $(1,0,0)$ a me pare isotropo.

[sisko87]

si effettivamente il vettore $(1,0,0)$ è isotropo infatti $phi((1,0,0);(1,0,0))=(1*0)+(1*0)+(0*0)=0$
sai se esiste un metodo di calcolo dei vettori isotropi o bisogna procedere sempre per tentativi?

[mistake89]

qui trovi qualcosa.