Vettori indipendenti?

[Fab996]

Questi vettori $v=(-1,1) u=(3,3) f=(4,2)$ se li associo ad una matrice, alla fine dopo i conti mi viene messa a gradini in questo modo$((1,-1),(0,1),(0,0))$ c'è un teorema che dice che dei vettori sono indipendenti se il rango della matrice è uguale al numero delle righe, in questo caso dato che l'ultima riga contiene tutti zero devo considerare 2 o 3 righe ?

[donald_zeka]

Non pensare tanto ai teoremi, hai ottenito una riga con tutti $0$, cosa significa?

[Fab996]

"Vulplasir":Non pensare tanto ai teoremi, hai ottenito una riga con tutti $0$, cosa significa?

Che sono indipendenti (?) Anche perchè se risolvo il classico sistema mi viene x=y=0..

[donald_zeka]

No, se riducendo con Gauss ottieni una o più righe nulle significa che i vettori riga non sono indipendenti, proprio perché le operazioni che si fanno con il procedimento di Gauss non sono altro che combinazioni lineari delle righe, e se ottieni una riga nulla vuol dire che uno di quei vettori è combinazione lineare degli altri.

[Fab996]

"Vulplasir":No, se riducendo con Gauss ottieni una o più righe nulle significa che i vettori riga non sono indipendenti, proprio perché le operazioni che si fanno con il procedimento di Gauss non sono altro che combinazioni lineari delle righe, e se ottieni una riga nulla vuol dire che uno di quei vettori è combinazione lineare degli altri.

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Capito, e per esempio le matrici $((1,3),(-1,1))$ $((1,-1),(2,1))$ $((2,1),(1,0))$ come sono ?

[donald_zeka]

Devi prendere gli elementi delle matrici e trasformarli in un vettore riga e poi formare la matrice dei vettori riga e ridurre con Gauss.

$((a,b),(c, d))$ diventa $(a,b,c,d)$

[Fab996]

"Vulplasir":Devi prendere gli elementi delle matrici e trasformarli in un vettore riga e poi formare la matrice dei vettori riga e ridurre con Gauss.

$((a,b),(c, d))$ diventa $(a,b,c,d)$

Però vedi questi vettori $(1,2,3,4) (2,3,4,1) (1,1,1,1)$ sono indipendenti, solo se li metti a gradini l'ultima riga viene tutti zero...

[donald_zeka]

Se sono indipendenti come fa a venirti una riga zero?...

[Fab996]

"Vulplasir":Se sono indipendenti come fa a venirti una riga zero?...

perchè il sistema associato mi viene ${x+2y+z=0;2x+3y+z=0;3x+4y+z=0;4x+y+z=0}$ quindi se poi passo alla matrice ...

[donald_zeka]

Eh ma non è la stessa cosa. Quando hai dei vettori e vuoi vedere se sono indipendenti puoi fare 2 cose:

1) Prendere i vettori e metterli IN RIGA su una matrice, ridurre con Gauss e vedere se vi sono RIGHE nulle, se ci sono allora i vettori NON sono indipendenti, se non ci sono allora sono indipendenti.

2) Risolvere il sistema che hai fatto tu nell'ultimo messaggio, che è una cosa diversa dal metodo 1) e qui non significa nulla il fatto che vengano delle righe nulle, qui devi risolvere il sistema e vedere se vi sono solo soluzioni nulle.

[Fab996]

"Vulplasir":Eh ma non è la stessa cosa. Quando hai dei vettori e vuoi vedere se sono indipendenti puoi fare 2 cose:

1) Prendere i vettori e metterli IN RIGA su una matrice, ridurre con Gauss e vedere se vi sono RIGHE nulle, se ci sono allora i vettori NON sono indipendenti, se non ci sono allora sono indipendenti.

2) Risolvere il sistema che hai fatto tu nell'ultimo messaggio, che è una cosa diversa dal metodo 1) e qui non significa nulla il fatto che vengano delle righe nulle, qui devi risolvere il sistema e vedere se vi sono solo soluzioni nulle.

Ah ok sei stato molto chiaro, ma il primo metodo è come dire che il rango che ottengo deve essere uguale al numero di righe?

[donald_zeka]

Si, la definizione di rango di una matrice è il numero di righe indipendenti della matrice, quindi se hai 3 vettori, e se i 3 vettori sono indipendenti, allora la matrice avrà rango 3.

[Fab996]

"Vulplasir":Si, la definizione di rango di una matrice è il numero di righe indipendenti della matrice, quindi se hai 3 vettori, e se i 3 vettori sono indipendenti, allora la matrice avrà rango 3.

Grazie mille!