Vettori generatori del piano
Ciao,
Un semplice dubbio sui vettori.
è possibile trovare due vettori non paralleli che non generano il piano?
Un semplice dubbio sui vettori.
è possibile trovare due vettori non paralleli che non generano il piano?
Risposte
Scusami axpgn anche io sono interessato, secondo il tuo ragionamento anche in R^2 due vettori non paralleli non generano necessariamente un piano, potrebbero generare 2 rette incidenti e basta.
Serio?
Se prendo 3 vettori di $RR^3$ qualsiasi ma che siano complanari, essi sono linearmente dipendenti. Cioè uno è combinazione lineare degli altri, cioè gli altri generano quel piano.
Aridaje!
Che c'entra con quello che hai chiesto? Non ti rendi proprio conto che aggiungi ipotesi a quelle iniziali?
Adesso hai aggiunto l'ipotesi che siano complanari quindi NON sono due vettori qualsiasi di $RR^3$.
Che c'entra con quello che hai chiesto? Non ti rendi proprio conto che aggiungi ipotesi a quelle iniziali?
Adesso hai aggiunto l'ipotesi che siano complanari quindi NON sono due vettori qualsiasi di $RR^3$.
Intendo che con 2 vettori in R^3 non paralleli posso sempre generare un piano, mi basta prendere un punto a caso di R^3 e posso generare il piano per quel punto parallelo alla giacitura formata dai due vettori.
Se invece considero separatamente le cose, e prendo un punto posso generare 2 rette incidenti con i due vettori, se prendo 2 punti posso generare due rette incidenti o sghembe.
Poi sicuramente sto sbagliando, ma non capisco dove
Se invece considero separatamente le cose, e prendo un punto posso generare 2 rette incidenti con i due vettori, se prendo 2 punti posso generare due rette incidenti o sghembe.
Poi sicuramente sto sbagliando, ma non capisco dove
Qui
"Settevoltesette":
Intendo che con 2 vettori in R^3 non paralleli posso sempre generare un piano, ...
Scusami ma se considero i vettori \(\displaystyle u \) e \(\displaystyle w \) non paralleli in R^3 e considero il punto genetico \(\displaystyle P \).
Potresti inserire dei valori per cui \(\displaystyle P + tu + t'w \) non sia un piano?
Potresti inserire dei valori per cui \(\displaystyle P + tu + t'w \) non sia un piano?
Il fatto è che io vedo i due vettori come se avessero la stessa origine quindi viene automatico estendere a $RR^3$ questo fatto. Considero due vettori in $RR^3$ che hanno origine comune, se non è così li posso traslare (i vettori sono indipendenti dalla posizione che hanno nello spazio), e quindi generano il piano da essi individuato (premesso che siano lin. indip). Non saprei spiegarmi in altri modi.
"AnalisiZero":
Il fatto è che io vedo i due vettori come se avessero la stessa origine ...
E vedi male ...
... il fatto che tu non riesca a vedere oltre, non significa che non esistano ..."AnalisiZero":
Considero due vettori in $ RR^3 $ che hanno origine comune, se non è così li posso traslare ...
Ma se li trasli, non sono più gli stessi! Non mi pare difficile da capire ...
Lo ripeto a tutti e due per l'ultima volta: in $RR^3$, diversamente da $RR^2$, esistono rette che non sono né parallele, né incidenti, le quali si chiamano "sghembe". Cercate in rete e poi fatemi sapere ...
"axpgn":
Ma se li trasli, non sono più gli stessi!
Perchè?
I vettori risultano equipollenti, non stiamo cambiando ne la direzione ne il verso ne il modulo.
Axpgn so cosa sono due rette sghembe, il problema è che un vettore fa parte di uno spazio vettoriale, che per me é differente dallo spazio geometrico, in quanto ogni spazio vettoriale ha sempre almeno un elemento in comune, il vettore nullo.
Se poi io ho 2 vettori non paralleli in R^3 e prendo 2 punti, posso avere sempre un piano, sempre 2 rette incidenti, sempre due rette sghembe a seconda di come imposto le cose. L'esempio é l'equazione che ho inserito poco fa. Così come nel piano con 2 vettori non paralleli posso sempre ottenere R^2 o 2 rette incidenti a seconda di come imposto le cose.
Se poi io ho 2 vettori non paralleli in R^3 e prendo 2 punti, posso avere sempre un piano, sempre 2 rette incidenti, sempre due rette sghembe a seconda di come imposto le cose. L'esempio é l'equazione che ho inserito poco fa. Così come nel piano con 2 vettori non paralleli posso sempre ottenere R^2 o 2 rette incidenti a seconda di come imposto le cose.
Se sai cosa sono due rette sghembe, sai che NON sono complanari.
Se non sono complanari, due vettori che appartengano a queste due rette non sono complanari a loro volta, o no?
Se due vettori non sono complanari, mi spieghi come fai a costruire un piano che li contenga entrambi? Io non ci riesco ...
Probabilmente parliamo di cose diverse ...
Se non sono complanari, due vettori che appartengano a queste due rette non sono complanari a loro volta, o no?
Se due vettori non sono complanari, mi spieghi come fai a costruire un piano che li contenga entrambi? Io non ci riesco ...
Probabilmente parliamo di cose diverse ...
Mi sembra di capire che vedo le cose solo dalla mia prospettiva, che credo sia la stessa di AnalisiZero.
Faccio un esempio per rendere l'idea di come vedo le cose io, considero come spazio geometrico la mia stanza, prendo due bastoncini e li metto ad x a distanze diverse, loro rappresentano le 2 rette sghembe, l'ombra che questi due bastoncini proiettano sul muro è una x, I vettori di queste 2 rette (bastoncini) sono tutti solo nella x formata dall'ombra, nei bastoncini invece ci sono solo punti e sono 2 spazi geometrici di dimensione 1 che non hanno punti in comune, le ombre dei due bastoncini hanno 1 punto in comune.
Quello che invece tu stai dicendo, se non ho capito male, che i vettori di queste 2 rette, si trovano sulle 2 rette.
Secondo me é un punto di vista differente, perché io considero giacitura e spazio geometrico a parte, tu consideri invece un tutt'uno, se non è così allora non ci capisco più niente.
Faccio un esempio per rendere l'idea di come vedo le cose io, considero come spazio geometrico la mia stanza, prendo due bastoncini e li metto ad x a distanze diverse, loro rappresentano le 2 rette sghembe, l'ombra che questi due bastoncini proiettano sul muro è una x, I vettori di queste 2 rette (bastoncini) sono tutti solo nella x formata dall'ombra, nei bastoncini invece ci sono solo punti e sono 2 spazi geometrici di dimensione 1 che non hanno punti in comune, le ombre dei due bastoncini hanno 1 punto in comune.
Quello che invece tu stai dicendo, se non ho capito male, che i vettori di queste 2 rette, si trovano sulle 2 rette.
Secondo me é un punto di vista differente, perché io considero giacitura e spazio geometrico a parte, tu consideri invece un tutt'uno, se non è così allora non ci capisco più niente.
Sì, mi pare che tu abbia interpretato correttamente quello che intendo ... mi sembra però che AnalisiZero abbia mescolato un po' le cose ... IMHO
Probabilmente l'incomprensione è dovuta a questa differente visione ...
In uno spazio vettoriale, come dici tu, non esistono vettori "sghembi", in quanto non sono altro che terne (in $RR^3$) che rappresentano il punto terminale del vettore che parte da "zero" (se vediamo lo spazio vettoriale dal punto di vista geometrico)
Probabilmente l'incomprensione è dovuta a questa differente visione ...
In uno spazio vettoriale, come dici tu, non esistono vettori "sghembi", in quanto non sono altro che terne (in $RR^3$) che rappresentano il punto terminale del vettore che parte da "zero" (se vediamo lo spazio vettoriale dal punto di vista geometrico)
@Alex sei finito nell'arena di un Colosseo 
@analisizero in genere ogni spazio vettoriale di dimensione $2$ è isomorfo a $RR^2$ ma questo non significa che siano la stessa cosa, solo che si comportano allo stesso modo.
In genere quello che puoi considerare è questo: preso $V$ spazio vettoriale su $R$ di dimensione $n>2$
Questo in poche parole significa che se $dimW=2$ allora $W$ è isomorfo ad $RR^2$ ovvero praticamente sono identici dal punto di vista delle proprietà algebriche.
Essere isomorfi significa che esiste $L:RR^2->W$ isomorfismo di spazi vettoriali.
L'ultima applicazione significa che $RR^2$ può essere immerso in $V$ nel senso che esiste una 'copia' di $RR^2$ in $V$ che ne ha le stesse caratteristiche. Tale immersione è $f:RR^2->V$ definita come $f(v):=L(v)$ dove $f(RR^2)=W$
Chiaramente si perde la suriettività in generale
Quindi al più puoi dire che ogni piano vettoriale di $RR^3$ può essere visto come una immersione di $RR^2$ in $RR^3$ ma non che $RR^2$ sia 'il piano', che può esser vero a meno di isomorfismi.
Per esempio $<(1,0,1),(0,1,1)> =WleqRR^3$ è un piano che chiaramente non è $RR^2$ però puoi considerare l'applicazione $L(x,y)=x(1,0,1)+y(0,1,1)$ che è un isomorfismo tra $RR^2$ e $W$ e considerare $W$ come $L(RR^2)$ se ti interessa 'giocare sul piano' e poi passare in $RR^3$
Per il resto mi sembra che dovreste ricominciare la discussione, perchè si stanno confondendo parecchie cose.
@analisizero in genere ogni spazio vettoriale di dimensione $2$ è isomorfo a $RR^2$ ma questo non significa che siano la stessa cosa, solo che si comportano allo stesso modo.
In genere quello che puoi considerare è questo: preso $V$ spazio vettoriale su $R$ di dimensione $n>2$
\( \forall W\leq V, (dimW=2 \Leftrightarrow W \cong \mathbb{R}^2) \Rightarrow \mathbb{R}^2 \hookrightarrow V \)
Questo in poche parole significa che se $dimW=2$ allora $W$ è isomorfo ad $RR^2$ ovvero praticamente sono identici dal punto di vista delle proprietà algebriche.
Essere isomorfi significa che esiste $L:RR^2->W$ isomorfismo di spazi vettoriali.
L'ultima applicazione significa che $RR^2$ può essere immerso in $V$ nel senso che esiste una 'copia' di $RR^2$ in $V$ che ne ha le stesse caratteristiche. Tale immersione è $f:RR^2->V$ definita come $f(v):=L(v)$ dove $f(RR^2)=W$
Chiaramente si perde la suriettività in generale
Quindi al più puoi dire che ogni piano vettoriale di $RR^3$ può essere visto come una immersione di $RR^2$ in $RR^3$ ma non che $RR^2$ sia 'il piano', che può esser vero a meno di isomorfismi.
Per esempio $<(1,0,1),(0,1,1)> =WleqRR^3$ è un piano che chiaramente non è $RR^2$ però puoi considerare l'applicazione $L(x,y)=x(1,0,1)+y(0,1,1)$ che è un isomorfismo tra $RR^2$ e $W$ e considerare $W$ come $L(RR^2)$ se ti interessa 'giocare sul piano' e poi passare in $RR^3$
Per il resto mi sembra che dovreste ricominciare la discussione, perchè si stanno confondendo parecchie cose.
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