Vettori e Matrici: dimostrazione
Ciao a tutti,
come si dimostra questa relazione di invarianza relativa ai vettori:
$vec(nabla)_t rot(i_z*E_z)=vec(nabla)_t E_z rot(i_z)$
Questa relazione me la sono trovata studiando le guide d'onda, però ovviamente non riesco a capire come devo fare per dimostrare che la prima relazione si può scrivere come la seconda.
$nabla_t$ rappresenta la parte trasversa, mentre $E_z*(i_z)$ la parte longitudinale. $i_z$ è un versore
GRAZIE
come si dimostra questa relazione di invarianza relativa ai vettori:
$vec(nabla)_t rot(i_z*E_z)=vec(nabla)_t E_z rot(i_z)$
Questa relazione me la sono trovata studiando le guide d'onda, però ovviamente non riesco a capire come devo fare per dimostrare che la prima relazione si può scrivere come la seconda.
$nabla_t$ rappresenta la parte trasversa, mentre $E_z*(i_z)$ la parte longitudinale. $i_z$ è un versore
GRAZIE
Risposte
Ehm.... non ci ho capito niente. Potresti spiegarla un po' meglio sta cosa?
"ciampax":
Ehm.... non ci ho capito niente. Potresti spiegarla un po' meglio sta cosa?
Allora quando studio le guide d'onda arrivo a scrivere una equazione che presenta questo termine
$nabla_t (E_z*i_z)$
dove $nabla_t=i_x*d/dx+i_td/dy$ e rappresenta la parte trasversale, il resto è la parte longitudinale. Ora per poter procedere nllo studio delle guide d'onda è necessario riscrivere questa relazione come:
$nabla_t E_z rot i_z$
dove $rot$ rappresenta il rotore. Come si dimostra quindi che:
$nabla_t (E_z*i_z)=nabla_t E_z rot i_z$
spero di essere stato un po' più chiaro, anche se è un po' difficile questo argomentaccio
Ah, ok, ora ci sono.... non avevo capito come fosse fatto l'operatore $\nabla_t$. Dunque, i pedici rappresentano le componenti in quella direzione, giusto? Quindi $E_z$ è la componente di $E$ lungo $z$, oppure rappresentano le derivate in quella direzione?
"ciampax":
Ah, ok, ora ci sono.... non avevo capito come fosse fatto l'operatore $\nabla_t$. Dunque, i pedici rappresentano le componenti in quella direzione, giusto? Quindi $E_z$ è la componente di $E$ lungo $z$, oppure rappresentano le derivate in quella direzione?
Allora mi sa che devo dare più informazioni, anche perché questo è un argomento molto vasto e mi sono limitato a fare una estrema sintesi. Mea culpa!
Partendo dalle equazioni di Maxwell prive di sorgenti e con relazioni costitutive molto semplici si sotituiscono al suo interno i seguenti valori
$vec(E) = vec(E)_t + E_z*i_z$
ovvero decompongo il campo elettrico in due "parti", una trasversa e una longitudinale. Lo stesso per il campo magnetico:
$vec(H) = vec(H)_t + H_z*i_z$
e per l'operatore "nabla" come ti ho mostrato prima.
Essendo ancora più precisi:
$vec(E)_t = E_x*i_x + E_y*i_y$ e $vec(H)_t = H_x*i_x + H_y*i_y$
mentre
$vec(nabla) = nabla_t+ d/dx*i_x + d/dy*i_y$
C'è un ultima cosa che non capisco.... come sono definite le operazioni? Suppongo che i versori siano variabili, giusto? Altrimenti $\rot(i_z)=0$ (o almeno così mi sembra!)
"ciampax":
C'è un ultima cosa che non capisco.... come sono definite le operazioni? Suppongo che i versori siano variabili, giusto? Altrimenti $\rot(i_z)=0$ (o almeno così mi sembra!)
ho fatto un errore mentre facevo i passaggi, ho corretto la traccia.
Comunque quello che vuole dimostrare è che:
$vec(nabla)_t rot(i_z*E_z)=vec(nabla)_t E_z rot(i_z)$
AAAAAAAAAAAAAAAAHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH......................... (espressione di comprensione!)
Adesso ho capito! Ecchecav!
Sta tutto nel calcolare il rotore a primo membro: c'è una relazione che ti dice che, se $f$ è una funzione e $v$ un vettore
$\rot(f\cdot v)=f\ \rot(v)+\grad(f)\times v$
dove $\times$ denota il prodotto vettoriale e $\grad$ il gradiente. Allora nel tuo caso avrai
$\nabla_t\rot(E_z\cdot i_z)=\nabla_t[E_z\ rot(i_z)+\grad(E_z)\times i_z]=\nabla_t E_z\cdot \rot(i_z)+\nabla_t(\grad(E_z)\times i_z)$.
Basta allora dimostare che $\nabla_t(\grad(E_z)\times i_z)=0$. Se scrivi $\grad(E_z)=A i_x+B i_y+C i_z$ allora $\grad(E_z)\times i_z=B i_x-A i_y$, essendo $A=\frac{\partial E_z}{\partial x},\ B=\frac{\partial E_z}{\partial y}$. Poiché $\nabla_t$ agisce come una divergenza su un vettore, hai
$\nabla_t(\grad(E_z)\times i_z)=\frac{\partial B}{\partial x}-\frac{\partial A}{\partial y}=\frac{\partial^2 E_z}{\partial x\partial y}-\frac{\partial^2 E_z}{\partial y\partial x}=0$,
e quindi il risultato che cercavi.
Adesso ho capito! Ecchecav!
Sta tutto nel calcolare il rotore a primo membro: c'è una relazione che ti dice che, se $f$ è una funzione e $v$ un vettore
$\rot(f\cdot v)=f\ \rot(v)+\grad(f)\times v$
dove $\times$ denota il prodotto vettoriale e $\grad$ il gradiente. Allora nel tuo caso avrai
$\nabla_t\rot(E_z\cdot i_z)=\nabla_t[E_z\ rot(i_z)+\grad(E_z)\times i_z]=\nabla_t E_z\cdot \rot(i_z)+\nabla_t(\grad(E_z)\times i_z)$.
Basta allora dimostare che $\nabla_t(\grad(E_z)\times i_z)=0$. Se scrivi $\grad(E_z)=A i_x+B i_y+C i_z$ allora $\grad(E_z)\times i_z=B i_x-A i_y$, essendo $A=\frac{\partial E_z}{\partial x},\ B=\frac{\partial E_z}{\partial y}$. Poiché $\nabla_t$ agisce come una divergenza su un vettore, hai
$\nabla_t(\grad(E_z)\times i_z)=\frac{\partial B}{\partial x}-\frac{\partial A}{\partial y}=\frac{\partial^2 E_z}{\partial x\partial y}-\frac{\partial^2 E_z}{\partial y\partial x}=0$,
e quindi il risultato che cercavi.
"ciampax":
Sta tutto nel calcolare il rotore a primo membro: c'è una relazione che ti dice che, se $f$ è una funzione e $v$ un vettore
$\rot(f\cdot v)=f\ \rot(v)+\grad(f)\times v$
non riesco a trovare questa proprietà che non mi ricordo, mi dai un link dove posso vederla? Per esempio tra quelle citate su wikipedia c'è
Guarda che è facile da dimostrare! Basta che scrivi
$\rot(f\cdot v)=\det\ ((i, j, k),(\partial_x,\partial_y,\partial_z),(f v_1,f v_2,f v_3))=[\partial_y(f v_3)-\partial_z(f v_2)]\ i+[\partial_z(f v_1)-\partial_x(f v_3)]\ j+[\partial_x(f v_2)-\partial_y(f v_1)]\ k$
e usi le proprietà delle derivate, per cui
$\rot(f\cdot v)=f\cdot ([\partial_y(v_3)-\partial_z(v_2)]\ i+[\partial_z(v_1)-\partial_x(v_3)]\ j+[\partial_x(v_2)-\partial_y(v_1)]\ k)+[\partial_y(f)\cdot v_3-\partial_z(f)\cdot v_2]\ i+[\partial_z(f)\cdot v_1-\partial_x(f)\cdot v_3]\ j+[\partial_x(f)\cdot v_2-\partial_y(f)\cdot v_1]\ k$
e ti accorgi che il primo pezzo è $f$ moltiplicato il rotore di $v$, mentre il secondo è il prodotto vettoriale di $\grad(f)$ e $v$. Dai, sono quelle cose da esercizietto stupido sulle proprietà degli operatori differenziali vettoriali! Su un qualsiasi libro di fisica II o di analisi in più variabili ci sono!
$\rot(f\cdot v)=\det\ ((i, j, k),(\partial_x,\partial_y,\partial_z),(f v_1,f v_2,f v_3))=[\partial_y(f v_3)-\partial_z(f v_2)]\ i+[\partial_z(f v_1)-\partial_x(f v_3)]\ j+[\partial_x(f v_2)-\partial_y(f v_1)]\ k$
e usi le proprietà delle derivate, per cui
$\rot(f\cdot v)=f\cdot ([\partial_y(v_3)-\partial_z(v_2)]\ i+[\partial_z(v_1)-\partial_x(v_3)]\ j+[\partial_x(v_2)-\partial_y(v_1)]\ k)+[\partial_y(f)\cdot v_3-\partial_z(f)\cdot v_2]\ i+[\partial_z(f)\cdot v_1-\partial_x(f)\cdot v_3]\ j+[\partial_x(f)\cdot v_2-\partial_y(f)\cdot v_1]\ k$
e ti accorgi che il primo pezzo è $f$ moltiplicato il rotore di $v$, mentre il secondo è il prodotto vettoriale di $\grad(f)$ e $v$. Dai, sono quelle cose da esercizietto stupido sulle proprietà degli operatori differenziali vettoriali! Su un qualsiasi libro di fisica II o di analisi in più variabili ci sono!
"ciampax":
Guarda che è facile da dimostrare! Basta che scrivi
$\rot(f\cdot v)=\det\ ((i, j, k),(\partial_x,\partial_y,\partial_z),(f v_1,f v_2,f v_3))=[\partial_y(f v_3)-\partial_z(f v_2)]\ i+[\partial_z(f v_1)-\partial_x(f v_3)]\ j+[\partial_x(f v_2)-\partial_y(f v_1)]\ k$
e usi le proprietà delle derivate, per cui
$\rot(f\cdot v)=f\cdot ([\partial_y(v_3)-\partial_z(v_2)]\ i+[\partial_z(v_1)-\partial_x(v_3)]\ j+[\partial_x(v_2)-\partial_y(v_1)]\ k)+[\partial_y(f)\cdot v_3-\partial_z(f)\cdot v_2]\ i+[\partial_z(f)\cdot v_1-\partial_x(f)\cdot v_3]\ j+[\partial_x(f)\cdot v_2-\partial_y(f)\cdot v_1]\ k$
e ti accorgi che il primo pezzo è $f$ moltiplicato il rotore di $v$, mentre il secondo è il prodotto vettoriale di $\grad(f)$ e $v$. Dai, sono quelle cose da esercizietto stupido sulle proprietà degli operatori differenziali vettoriali! Su un qualsiasi libro di fisica II o di analisi in più variabili ci sono!
Allora io procedevo così, ora non so se è più o meno la stessa cosa. Riscrivo
$nabla_t xx (hat(i_z)*E_z) = nabla_t xx (E_z*hat(i_z))$
perché il prodotto scalare è commutativo se non dico fesserie. Ora da una identità vettoriale si ricava:
$nabla_t xx (hat(i_z)*E_z) = E_z*nabla_t xx (hat(i_z)) + (nabla_t E_z) xx hat(i_z)$
ora $E_z*nabla_t xx hat(i_z)=0$ perché corrispondere alla seguente matrice:
$E_z*nabla_t xx (hat(i_z))=\det\ ((hat(i_x), hat(i_y), hat(i_z)),(\partial_x,\partial_y,\partial_z),(0,0,1))=0$
e non so se ti torna questa cosa. Questa cosa l'ha scritto il prof però onestamente non capisco perché quell'uno quindi nella mia dimostrazione l'ho presa per buona. A questo punto mi resta da dimostrare:
$nabla_t xx (hat(i_z)*E_z) = \det\ ((hat(i_x), hat(i_y), hat(i_z)),(\partial_x,\partial_y, 0),(0,0,E_z)) = hat(i_x) \partial_y E_z - hat(i_y) \partial_x E_z = \det\ ((hat(i_x), hat(i_y)),(\partial_x,\partial_y))*E_z = \det\ ((hat(i_x), hat(i_y), hat(i_z)),(\partial_x E_z,\partial_y E_z, 0),(0,0,1)) = (nabla_t*E_z) rot hat(i_z)$
spero di essere stato chiaro nella spiegazione di come ho svolto io la dimostrazione.
Sì, ci sei, anche se continui a scrivere le cose senza le parentesi e non si capisce dove diavolo agiscano gli operatori!
"ciampax":
Sì, ci sei, anche se continui a scrivere le cose senza le parentesi e non si capisce dove diavolo agiscano gli operatori!
ho messo le parentesi e ho corretto quindi il post precedente. Sarà proprio una parentesi il motivo per cui sarò bocciato mi sa!
Ma perché quella quantità è nulla (da quanto dice il prof)?
Il fatto che venga zero dove dici tu è banale: il vettore $i_z$ è costante, quindi le sue componenti sono $i_z=(0,0,1)$. Ecco perché metti $1$ nell'ultima riga. Ragazzo, al di là delle parentesi, tu ti devi fare una bella rilettura della teoria degli operatori differenziali vettoriali!
"Ahi":
Ora da una identità vettoriale si ricava:
$nabla_t xx (hat(i_z)*E_z) = E_z*nabla_t xx (hat(i_z)) + (nabla_t E_z) xx hat(i_z)$
ora $E_z*nabla_t xx hat(i_z)=0$ perché corrispondere alla seguente matrice:
$E_z*nabla_t xx (hat(i_z))=\det\ ((hat(i_x), hat(i_y), hat(i_z)),(\partial_x,\partial_y,\partial_z),(0,0,1))=0$
spero di essere stato chiaro nella spiegazione di come ho svolto io la dimostrazione.
Ti chiedo un po' di pazienza sto messo maluccio lo so.
La questione più ripasso l'algebra e più sta cosa non mi torna, (anche se ora ho capito buona parte che prima non sapevo e che ignoravo) dove sbaglio nel mio ragionamento? Alla fine per me dovrebbe essere:
$nabla_t xx (hat(i_z))=\det\ ((hat(i_x), hat(i_y), hat(i_z)),(\partial_x,\partial_y, 0),(0,0,1)) = hat(i_x)*partial_x-hat(i_y)*partial_y != 0$
anche perché le componenti dei due vettori sono $nabla_t = (\partial_x hat(i_x), \partial_y hat(i_y), 0)$ e appunto $hat(i_z)=(0,0,1)$
"Ahi":
[quote="Ahi"] Ora da una identità vettoriale si ricava:
$nabla_t xx (hat(i_z)*E_z) = E_z*nabla_t xx (hat(i_z)) + (nabla_t E_z) xx hat(i_z)$
ora $E_z*nabla_t xx hat(i_z)=0$ perché corrispondere alla seguente matrice:
$E_z*nabla_t xx (hat(i_z))=\det\ ((hat(i_x), hat(i_y), hat(i_z)),(\partial_x,\partial_y,\partial_z),(0,0,1))=0$
spero di essere stato chiaro nella spiegazione di come ho svolto io la dimostrazione.
Ti chiedo un po' di pazienza sto messo maluccio lo so.
La questione più ripasso l'algebra e più sta cosa non mi torna, (anche se ora ho capito buona parte che prima non sapevo e che ignoravo) dove sbaglio nel mio ragionamento? Alla fine per me dovrebbe essere:
$nabla_t xx (hat(i_z))=\det\ ((hat(i_x), hat(i_y), hat(i_z)),(\partial_x,\partial_y, 0),(0,0,1)) = hat(i_x)*partial_x-hat(i_y)*partial_y != 0$
anche perché le componenti dei due vettori sono $nabla_t = (\partial_x hat(i_x), \partial_y hat(i_y), 0)$ e appunto $hat(i_z)=(0,0,1)$[/quote]
Scusa, ma le derivate di $1$ quanto fanno?
La forma corretta è questa$nabla_t xx (hat(i_z))=\det\ ((hat(i_x), hat(i_y), hat(i_z)),(\partial_x,\partial_y, 0),(0,0,1)) = hat(i_x)*partial_y(1)-hat(i_y)*partial_x(1) = 0$
Tra l'altro, sbagli a ridurre il determinante! In quello che hai fatto tu, la derivata rispetto ad $x$ appare a fianco al versore dell'asse $x$, cosa assolutamente impossibile!
"ciampax":
[quote="Ahi"][quote="Ahi"] Ora da una identità vettoriale si ricava:
$nabla_t xx (hat(i_z)*E_z) = E_z*nabla_t xx (hat(i_z)) + (nabla_t E_z) xx hat(i_z)$
ora $E_z*nabla_t xx hat(i_z)=0$ perché corrispondere alla seguente matrice:
$E_z*nabla_t xx (hat(i_z))=\det\ ((hat(i_x), hat(i_y), hat(i_z)),(\partial_x,\partial_y,\partial_z),(0,0,1))=0$
spero di essere stato chiaro nella spiegazione di come ho svolto io la dimostrazione.
Ti chiedo un po' di pazienza sto messo maluccio lo so.
La questione più ripasso l'algebra e più sta cosa non mi torna, (anche se ora ho capito buona parte che prima non sapevo e che ignoravo) dove sbaglio nel mio ragionamento? Alla fine per me dovrebbe essere:
$nabla_t xx (hat(i_z))=\det\ ((hat(i_x), hat(i_y), hat(i_z)),(\partial_x,\partial_y, 0),(0,0,1)) = hat(i_x)*partial_x-hat(i_y)*partial_y != 0$
anche perché le componenti dei due vettori sono $nabla_t = (\partial_x hat(i_x), \partial_y hat(i_y), 0)$ e appunto $hat(i_z)=(0,0,1)$[/quote]
Scusa, ma le derivate di $1$ quanto fanno?
La forma corretta è questa$nabla_t xx (hat(i_z))=\det\ ((hat(i_x), hat(i_y), hat(i_z)),(\partial_x,\partial_y, 0),(0,0,1)) = hat(i_x)*partial_y(1)-hat(i_y)*partial_x(1) = 0$
Tra l'altro, sbagli a ridurre il determinante! In quello che hai fatto tu, la derivata rispetto ad $x$ appare a fianco al versore dell'asse $x$, cosa assolutamente impossibile![/quote]
ah ecco echecavol!
Sì il secondo errore è stato per la fretta, il primo io praticamente facevo come se fosse stato $1*3=3$ ecco tutto, insomma tanta disperazione per stupidaggini.Grazie
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