Vettori e aree
Dati v e w ( lati di un parallelogramma) , l'area del parallelogramma è A=|vxw| (prodotto vettoriale).
Ma il risultato di un prodotto vettoriale non è un numero finito quale dovrebbe essere l'area! Come si arriva al numero finito?
es v(-2,1,.3) w(-1,1,-1)
wxw= (2,1,-1) .... e l'area come la calcolo!!
Ma il risultato di un prodotto vettoriale non è un numero finito quale dovrebbe essere l'area! Come si arriva al numero finito?
es v(-2,1,.3) w(-1,1,-1)
wxw= (2,1,-1) .... e l'area come la calcolo!!
Risposte
Allora proviamo a ragionare come un allievo di II media: l'area del parallelogramma si trova facendo base per altezza,
adesso passiamo alle superiori: se conosco le misure dei lati consecutivi di un parallelogramma (chiamiamoli $a$ e $b$) e l'angolo interposto fra loro (chiamiamolo $theta$) posso considerare $b$ la base e per trovare l'altezza mi basta fare $a*sentheta$
di conseguenza l'area del parallelogramma sarà $A=b*a*sentheta$
Ora sono passati un po' di anni da quando andavo all'università ma mi sembra di ricordare che il prodotto vettoriale di due vettori si trovasse moltiplicando fra loro i moduli dei vettori e moltiplicando poi per il seno dell'angolo interposto, per la direzione si considera l'asse perpendicolare al piano che contiene i vettori fattori e per il verso c'è la ragola della mano destra. Ricordo bene?
Nel tuo caso mi sembra che interessi solo il modulo del prodotto vettoriale.
I vettori possono anche essere indicati con le loro componenti, non ricordo in questo caso come si calcola il modulo del prodotto vettoriale (giusto oggi rimettendo a posto la cameretta dei bambini è saltato fuori un mio vecchio quaderno d'appunti dove c'è spiegato come calcolare il prodotto vettoriale note le componenti dei vettori fattori, ci sono delle matrici) tuttavia è tanto tempo che non faccio di queste cose, puoi controllare sui tuoi appunti o su un libro?
Ad ogni modo note le componenti dei vettori puoi comunque trovarti le loro lunghezze e l'angolo interposto?
adesso passiamo alle superiori: se conosco le misure dei lati consecutivi di un parallelogramma (chiamiamoli $a$ e $b$) e l'angolo interposto fra loro (chiamiamolo $theta$) posso considerare $b$ la base e per trovare l'altezza mi basta fare $a*sentheta$
di conseguenza l'area del parallelogramma sarà $A=b*a*sentheta$
Ora sono passati un po' di anni da quando andavo all'università ma mi sembra di ricordare che il prodotto vettoriale di due vettori si trovasse moltiplicando fra loro i moduli dei vettori e moltiplicando poi per il seno dell'angolo interposto, per la direzione si considera l'asse perpendicolare al piano che contiene i vettori fattori e per il verso c'è la ragola della mano destra. Ricordo bene?
Nel tuo caso mi sembra che interessi solo il modulo del prodotto vettoriale.
I vettori possono anche essere indicati con le loro componenti, non ricordo in questo caso come si calcola il modulo del prodotto vettoriale (giusto oggi rimettendo a posto la cameretta dei bambini è saltato fuori un mio vecchio quaderno d'appunti dove c'è spiegato come calcolare il prodotto vettoriale note le componenti dei vettori fattori, ci sono delle matrici) tuttavia è tanto tempo che non faccio di queste cose, puoi controllare sui tuoi appunti o su un libro?
Ad ogni modo note le componenti dei vettori puoi comunque trovarti le loro lunghezze e l'angolo interposto?
Ricordi bene: \(\displaystyle |axb|= absin\theta \) dove \(\displaystyle \theta \) è l'angolo compreso tra i 2 vettori!
Date le componenti (x,y,z) di un vettore il suo modulo è dato da \(\displaystyle \sqrt{x^2+y^2+z^2} \)
L'angolo compreso tra i 2 vettori è dato da questa formula: \(\displaystyle cos\theta=(a*b)/(|a|*|b|) \)
Solo che anhe applicando queste formule non mi torna...
Date le componenti (x,y,z) di un vettore il suo modulo è dato da \(\displaystyle \sqrt{x^2+y^2+z^2} \)
L'angolo compreso tra i 2 vettori è dato da questa formula: \(\displaystyle cos\theta=(a*b)/(|a|*|b|) \)
Solo che anhe applicando queste formule non mi torna...
Ciao Oo.Tania,
per il modulo sono d'accordo (è la diagonale di un parallelepipedo che ha per dimensioni le componenti del vettori)
in relazione all'angolo non so cosa dire...
note le componenti dei vettori, li puoi disegnare e quindi valutare l'angolo compreso, la tua formula non la capisco e non mi convince, ma non saprei cos'altro suggerire, se non cercare su qualche libro di geometria analitica nello spazio...
speriamo che intervenga qualcuno ad illuminarci!
per il modulo sono d'accordo (è la diagonale di un parallelepipedo che ha per dimensioni le componenti del vettori)
in relazione all'angolo non so cosa dire...
note le componenti dei vettori, li puoi disegnare e quindi valutare l'angolo compreso, la tua formula non la capisco e non mi convince, ma non saprei cos'altro suggerire, se non cercare su qualche libro di geometria analitica nello spazio...
speriamo che intervenga qualcuno ad illuminarci!
La formula deriva dalla formula del prodotto scalare : \(\displaystyle a*b=|a|*|b|cos\theta \)
Speriamo qualcuno ci aiuti
Speriamo qualcuno ci aiuti
Sì a questo punto sono piuttosto curiosa...
Comunque alla fine la cosa che non capisco io è questa:
L’area del parallelogramma di lati AB e AC `e data dalla lunghezza del vettore AB × AC. Poichè
AB = (−2, 1,−3) e AC = (−1, 1,−1), otteniamo \(\displaystyle AB × AC = (2, 1,−1) \) )quindi \(\displaystyle AB × AC| = \sqrt6 \) .Infine l’area del triangolo è metà dell’area del parallelogramma:
Area(ABC) = \(\displaystyle \sqrt6 /2 \)
Ma perchè \(\displaystyle \sqrt6 \)???
L’area del parallelogramma di lati AB e AC `e data dalla lunghezza del vettore AB × AC. Poichè
AB = (−2, 1,−3) e AC = (−1, 1,−1), otteniamo \(\displaystyle AB × AC = (2, 1,−1) \) )quindi \(\displaystyle AB × AC| = \sqrt6 \) .Infine l’area del triangolo è metà dell’area del parallelogramma:
Area(ABC) = \(\displaystyle \sqrt6 /2 \)
Ma perchè \(\displaystyle \sqrt6 \)???
Aaaaaaaaaaaaaaa è il modulo del prodotto vettoriale!!! Quindi la somma delle ocmponenti del prodotto vettoriale elevati alla seconda e messi sotto radice!!!!
Allora non so seguirti su come ottieni le componenti del vettore prodotto (scommetto che c'entrano le matrici e se hai tempo di spiegarmi non solo il procedimento, ce l'ho anch'io nel vetusto quaderno d'appunti, ma l'interpretazione geometrica te ne sarò riconoscente), comunque una volta ottennute le componenti per conoscere il modulo basta calcolare la diagonale del parallelepipedo che ha per dimensioni le componenti del tuo vettore, riesci a "vederlo"?
Il tuo vettore è un segmento orientato, con un estremo nell'origine e l'altro estremo nel punto di cui hai le coordinate $(2,1,-1)$, riesci a vedere il parallelepipedo che ha come dimensioni 2, 1, -1? Il tuo vettore è la sua diagonale e per calcolare la sua lunghezza applichi due volte il teorema di pitagora e ottieni $sqrt(2^2+1^2+ (-1)^2)=sqrt(4+1+1)=sqrt6$.
Forse è più facile vedere come si trova la lunghezza di un vettore date le sue componenti se si lavora nel piano (è la diagonale del rettangolo che ha per dimensioni le componenti del vettore) poi nello spazio si aggiunge una dimensione ma la logica è la stessa.
Non capisco però come mai dividi per 2...
Il tuo vettore è un segmento orientato, con un estremo nell'origine e l'altro estremo nel punto di cui hai le coordinate $(2,1,-1)$, riesci a vedere il parallelepipedo che ha come dimensioni 2, 1, -1? Il tuo vettore è la sua diagonale e per calcolare la sua lunghezza applichi due volte il teorema di pitagora e ottieni $sqrt(2^2+1^2+ (-1)^2)=sqrt(4+1+1)=sqrt6$.
Forse è più facile vedere come si trova la lunghezza di un vettore date le sue componenti se si lavora nel piano (è la diagonale del rettangolo che ha per dimensioni le componenti del vettore) poi nello spazio si aggiunge una dimensione ma la logica è la stessa.
Non capisco però come mai dividi per 2...
Divido per 2 perchè in realtà il testo dell'esercizio chideva l'area del triangolo, quindi metà dell'area del parallelogramma!!
Comunque per quanto riguarda l'interpretazione geometrica:
Siano v = (v1; v2;v3) e w= (w1;w2;w3) due vettori del piano. Il parallelogramma di lati v e w ha
area A il cui quadrato e uguale a
\(\displaystyle A^2=|\overrightarrow{v} |^2 * |\overrightarrow{w} |^2 (sin\theta)^2 \) (cioè base*altezza)
\(\displaystyle =|\overrightarrow{v} |^2 * |\overrightarrow{w} |^2 (1-cos^2\theta) \)
\(\displaystyle =|\overrightarrow{v} |^2*(|\overrightarrow{w} |^2-|\overrightarrow{w} |^2(cos^2\theta) )\)
\(\displaystyle =|\overrightarrow{v} |^2 * |\overrightarrow{w} |^2 -|\overrightarrow{v} |^2 * |\overrightarrow{w} |^2 cos^2\theta) \)
Dato che \(\displaystyle |\overrightarrow{v} | * |\overrightarrow{w} | cos^2\theta=\overrightarrow{v}*\overrightarrow{w} \)
La formula diventa
\(\displaystyle= |\overrightarrow{v} |^2*|\overrightarrow{w} |^2 - (\overrightarrow{v}*\overrightarrow{w} )^2 \)
Ora, dato che \(\displaystyle v^2=v1^2+v2^2+v3^2 \) e \(\displaystyle w^2=w1^2+w2^2+w3^2 \)
\(\displaystyle A^2= (v1^2+v2^2+v3^2)(w1^2+w2^2+w3^2)-(v1w1+v2w2+v3w3)^2\)
\(\displaystyle =(v1w2-v2w1)^2+(v1w3-w3v1)^2+(v2w3-v3w2)^2 \)
dato che il prodotto vettoriale può ssere scritto così
\(\displaystyle vxw= (v2w3-v3w2,v3w1-v1w3,v1w2-v2w1\)
\(\displaystyle A=|vxw| \)
Spero di essermi spiagata bene
Comunque per quanto riguarda l'interpretazione geometrica:
Siano v = (v1; v2;v3) e w= (w1;w2;w3) due vettori del piano. Il parallelogramma di lati v e w ha
area A il cui quadrato e uguale a
\(\displaystyle A^2=|\overrightarrow{v} |^2 * |\overrightarrow{w} |^2 (sin\theta)^2 \) (cioè base*altezza)
\(\displaystyle =|\overrightarrow{v} |^2 * |\overrightarrow{w} |^2 (1-cos^2\theta) \)
\(\displaystyle =|\overrightarrow{v} |^2*(|\overrightarrow{w} |^2-|\overrightarrow{w} |^2(cos^2\theta) )\)
\(\displaystyle =|\overrightarrow{v} |^2 * |\overrightarrow{w} |^2 -|\overrightarrow{v} |^2 * |\overrightarrow{w} |^2 cos^2\theta) \)
Dato che \(\displaystyle |\overrightarrow{v} | * |\overrightarrow{w} | cos^2\theta=\overrightarrow{v}*\overrightarrow{w} \)
La formula diventa
\(\displaystyle= |\overrightarrow{v} |^2*|\overrightarrow{w} |^2 - (\overrightarrow{v}*\overrightarrow{w} )^2 \)
Ora, dato che \(\displaystyle v^2=v1^2+v2^2+v3^2 \) e \(\displaystyle w^2=w1^2+w2^2+w3^2 \)
\(\displaystyle A^2= (v1^2+v2^2+v3^2)(w1^2+w2^2+w3^2)-(v1w1+v2w2+v3w3)^2\)
\(\displaystyle =(v1w2-v2w1)^2+(v1w3-w3v1)^2+(v2w3-v3w2)^2 \)
dato che il prodotto vettoriale può ssere scritto così
\(\displaystyle vxw= (v2w3-v3w2,v3w1-v1w3,v1w2-v2w1\)
\(\displaystyle A=|vxw| \)
Spero di essermi spiagata bene
Sono d'accordo su tutto: il modulo del prodotto vettore è l'area del parallelogramma individuato dai due vettori, fatto che si può verificare (IMHO) più facilmente per mezzo della formula
\[\lvert \vec{a}\times \vec{b}\rvert =ab\lvert \sin (\theta) \rvert, \]
(disegna \(\vec{a}\) giacente sull'asse delle \(x\), \(\vec{b}\) nel piano \(xy\) e renditi conto graficamente che questo non è altro che base per altezza). Il prodotto vettoriale si ricorda più facilmente mediante l'identità formale
\[\vec{a}\times \vec{b}=\det \begin{bmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x &b_y & b_z \end{bmatrix}\]
(formale perché la prima riga non contiene dei numeri ma dei vettori). Un po' più facile da ricordare, no? Certo, anche scritta così questa definizione sembra cadere dal cielo. Ma a guardarla bene rivela un sacco di informazioni sulla natura del prodotto vettoriale, poi magari ne possiamo riparlare un po' se volete (adesso devo scappare che la tesi mi aspetta!).
\[\lvert \vec{a}\times \vec{b}\rvert =ab\lvert \sin (\theta) \rvert, \]
(disegna \(\vec{a}\) giacente sull'asse delle \(x\), \(\vec{b}\) nel piano \(xy\) e renditi conto graficamente che questo non è altro che base per altezza). Il prodotto vettoriale si ricorda più facilmente mediante l'identità formale
\[\vec{a}\times \vec{b}=\det \begin{bmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x &b_y & b_z \end{bmatrix}\]
(formale perché la prima riga non contiene dei numeri ma dei vettori). Un po' più facile da ricordare, no? Certo, anche scritta così questa definizione sembra cadere dal cielo. Ma a guardarla bene rivela un sacco di informazioni sulla natura del prodotto vettoriale, poi magari ne possiamo riparlare un po' se volete (adesso devo scappare che la tesi mi aspetta!).
"dissonance":
Sono d'accordo su tutto: il modulo del prodotto vettore è l'area del parallelepipedo individuato dai due vettori,
volevi scrivere parallelogramma?
"dissonance":
\[\vec{a}\times \vec{b}=\det \begin{bmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x &b_y & b_z \end{bmatrix}\]
(formale perché la prima riga non contiene dei numeri ma dei vettori). Un po' più facile da ricordare, no? Certo, anche scritta così questa definizione sembra cadere dal cielo. Ma a guardarla bene rivela un sacco di informazioni sulla natura del prodotto vettoriale, poi magari ne possiamo riparlare un po' se volete (adesso devo scappare che la tesi mi aspetta!).
è quello che ho sul mio quaderno e che quindi il prof (acc... hanno sempre ragione loro) ha ritenuto opportuno spiegarci, la prima riga dovrebbe rappresentare i vettori unitari che hanno la direzione degli assi coordinati, e ora che la guardo meglio mi sembra che un senso ce l'abbia... devo rifletterci un po' sù.
Forza con la tesi che prima ci si laurea prima si comincia a lavorare e, finalmente, a percepire lo stipendio!
"Oo.tania":
Siano v = (v1; v2;v3) e w= (w1;w2;w3) due vettori del piano. Il parallelogramma di lati v e w ha
area A il cui quadrato e uguale a
\(\displaystyle A^2=|\overrightarrow{v} |^2 * |\overrightarrow{w} |^2 (sin\theta)^2 \) (cioè base*altezza)
\(\displaystyle =|\overrightarrow{v} |^2 * |\overrightarrow{w} |^2 (1-cos^2\theta) \)
\(\displaystyle =|\overrightarrow{v} |^2*(|\overrightarrow{w} |^2-|\overrightarrow{w} |^2(cos^2\theta) )\)
\(\displaystyle =|\overrightarrow{v} |^2 * |\overrightarrow{w} |^2 -|\overrightarrow{v} |^2 * |\overrightarrow{w} |^2 cos^2\theta) \)
Dato che \(\displaystyle |\overrightarrow{v} | * |\overrightarrow{w} | cos^2\theta=\overrightarrow{v}*\overrightarrow{w} \)La formula diventa
\(\displaystyle= |\overrightarrow{v} |^2*|\overrightarrow{w} |^2 - (\overrightarrow{v}*\overrightarrow{w} )^2 \)
Ora, dato che \(\displaystyle v^2=v1^2+v2^2+v3^2 \) e \(\displaystyle w^2=w1^2+w2^2+w3^2 \)
\(\displaystyle A^2= (v1^2+v2^2+v3^2)(w1^2+w2^2+w3^2)-(v1w1+v2w2+v3w3)^2\)
\(\displaystyle =(v1w2-v2w1)^2+(v1w3-w3v1)^2+(v2w3-v3w2)^2 \)
dato che il prodotto vettoriale può ssere scritto così
\(\displaystyle vxw= (v2w3-v3w2,v3w1-v1w3,v1w2-v2w1\)
\(\displaystyle A=|vxw| \)
Spero di essermi spiagata bene
Grazie Oo.Tania, leggo lentamente e lentamente assimilo: ho bisogno di tempo per riflettere su ogni passaggio, magari poi torno a farti altre domande;
solo una cosa riguardante la parte in rosso, il coseno non dovrebbe essere semplice invece che al quadrato?
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