Vettori dell'endomorfismo nel riferimento dato
Salve ragazzi! sono proprio in alto mare! devo risolvere il seguente esercizio ma non so dove mettere mano! Tra qualche giorno ho lo scritto di geometria I e sono nel panico! 
Sia f l’endomorfismo dello spazio vettoriale numerico $ R^3 $ rappresentato nel riferimento $ R=(e1=(1,0,1),e2=(-1,1,1),e3=(0,1,1)) $ dalla matrice
$ A=( ( 2 , 2 , 2 ),( 0 , 4 , 2 ),( 0 , 4 , -2 ) ) $
i) si scrivano i vettori f(e1), f(e2), f(e3)
ii) Utilizzando il teorema di esistenza ed unicità delle applicazioni lineari, si determini il valore che l’endomorfismo f assume sul generico vettore (x1,x2,x3) di $ R^3 $.
iii) Si provi che f é diagonalizzabile, motivando la risposta.
Sia f l’endomorfismo dello spazio vettoriale numerico $ R^3 $ rappresentato nel riferimento $ R=(e1=(1,0,1),e2=(-1,1,1),e3=(0,1,1)) $ dalla matrice
$ A=( ( 2 , 2 , 2 ),( 0 , 4 , 2 ),( 0 , 4 , -2 ) ) $
i) si scrivano i vettori f(e1), f(e2), f(e3)
ii) Utilizzando il teorema di esistenza ed unicità delle applicazioni lineari, si determini il valore che l’endomorfismo f assume sul generico vettore (x1,x2,x3) di $ R^3 $.
iii) Si provi che f é diagonalizzabile, motivando la risposta.
Risposte
per ii) ti basta sapere che data un'applicazione lineare $phi:V->W$ e la sua matrice associata $A$, scrivere $phi(v)$ è equivalente a fare il prodotto $A*v$.
per iii): sai cosa significa che una matrice è diagonalizzabile ? Conosci quali sono i criteri di diagonalizzazione?
Purtroppo la matrice non è simmetrica,... potresti calcolare il determinante di $A-lambdaI$ e porlo uguale a per trovare gli autovalori e da lì utilizzare i criteri noti.
Si hanno 3 autovalori distinti, pari alla dimensione della matrice, pertanto è sicuramente diagonalizzabile.
per iii): sai cosa significa che una matrice è diagonalizzabile ? Conosci quali sono i criteri di diagonalizzazione?
Purtroppo la matrice non è simmetrica,... potresti calcolare il determinante di $A-lambdaI$ e porlo uguale a per trovare gli autovalori e da lì utilizzare i criteri noti.
Si hanno 3 autovalori distinti, pari alla dimensione della matrice, pertanto è sicuramente diagonalizzabile.
Quindi:
i) per ottenere f(e1) moltiplico A per e1 e così via, giusto?
ii) Per trovare il valore generico moltiplico A per (x1,x2,x3)?
iii) $ A-lambda I =0 $ ?
Grazie ancora! siete di grande aiuto!!!
i) per ottenere f(e1) moltiplico A per e1 e così via, giusto?
ii) Per trovare il valore generico moltiplico A per (x1,x2,x3)?
iii) $ A-lambda I =0 $ ?
Grazie ancora! siete di grande aiuto!!!
iii): $det(a-lambdaI)=0$ ... forse dovresti riguardarti la definizione di autovalori (e autovettori)...
Sisi, era il determinate uguale a zero...mi era sfuggito! 
Grazie ancora!
Grazie ancora!
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