Vettori come elementi di una matrice
Ciao, amici!
Sono abituato, dal Sernesi e da altri miei studi precedenti relativi a matrici in $M_{m,n}(RR)$ e $M_{m,n}(CC)$, a considerare prodotti matriciali definiti come $M_{m,n}(K)×M_{n,p}(K)\to M_{m,p}(K)$ con $K$ campo.
Nei miei calcoli e note a margine mi sono però abituato a rappresentare un vettore \(\mathbf{v}=x_1\mathbf{b}_1+...+x_n\mathbf{b}_n\) con scritture del tipo \(\mathbf{v}=\begin{pmatrix} \mathbf{b}_1...\mathbf{b}_n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\\vdots\\x_n \end{pmatrix}\) o addirittura, ponendo \(B=\begin{pmatrix} \mathbf{b}_1...\mathbf{b}_n \end{pmatrix}\) e \(\mathbf{X}=(x_1,...,x_n)\in M_{n,1}(K)\) (se i $\mathbf{b}_i$ sono i vettori di una base dello spazio cui appartiene $\mathbf{v}$ queste sono le coordinate di $\mathbf{v}$ rispetto ad essa), del tipo $\mathbf{v}=B\mathbf{X}$, ma sono tutt'altro che sicuro che si possano costruire questo tipo di matrici di vettori $B$, senza la condizione che $\mathbf{b}_i\in K^m$ per qualche $m$, cioè che siano vettori colonna, anche se, qualora si potesse, lo troverei estremamente pratico per denotare per esempio la relazione tra vettore e coordinate...
Non credo che siano definite matrici in $M_{m,n}(V)$ con $V$ spazio vettoriale e tanto meno prodotti matriciali che coinvolgano tali matrici, ma rimane comunque lecito il mio modo di scrivere?
Grazie di cuore a tutti!
Sono abituato, dal Sernesi e da altri miei studi precedenti relativi a matrici in $M_{m,n}(RR)$ e $M_{m,n}(CC)$, a considerare prodotti matriciali definiti come $M_{m,n}(K)×M_{n,p}(K)\to M_{m,p}(K)$ con $K$ campo.
Nei miei calcoli e note a margine mi sono però abituato a rappresentare un vettore \(\mathbf{v}=x_1\mathbf{b}_1+...+x_n\mathbf{b}_n\) con scritture del tipo \(\mathbf{v}=\begin{pmatrix} \mathbf{b}_1...\mathbf{b}_n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\\vdots\\x_n \end{pmatrix}\) o addirittura, ponendo \(B=\begin{pmatrix} \mathbf{b}_1...\mathbf{b}_n \end{pmatrix}\) e \(\mathbf{X}=(x_1,...,x_n)\in M_{n,1}(K)\) (se i $\mathbf{b}_i$ sono i vettori di una base dello spazio cui appartiene $\mathbf{v}$ queste sono le coordinate di $\mathbf{v}$ rispetto ad essa), del tipo $\mathbf{v}=B\mathbf{X}$, ma sono tutt'altro che sicuro che si possano costruire questo tipo di matrici di vettori $B$, senza la condizione che $\mathbf{b}_i\in K^m$ per qualche $m$, cioè che siano vettori colonna, anche se, qualora si potesse, lo troverei estremamente pratico per denotare per esempio la relazione tra vettore e coordinate...
Non credo che siano definite matrici in $M_{m,n}(V)$ con $V$ spazio vettoriale e tanto meno prodotti matriciali che coinvolgano tali matrici, ma rimane comunque lecito il mio modo di scrivere?
Grazie di cuore a tutti!
Risposte
"Sergio":
una matrice che abbia per colonne (o per righe) dei vettori non è mica una matrice di vettori!
Certo: i vettori colonna o riga sono ennuple di elementi di un campo o di un dominio d'integrità, al massimo della generalizzazione che conosco io...
"Sergio":
se \((\mathbf{b}_1 ... \mathbf{b}_n)\) è una matrice, è assolutamente ovvio che si abbia \(\mathbf{b}_i\in\mathbb{K}^m\) per qualche \(m\) e per ogni \(i=1,\dots,n\), almeno se si vogliono escludere matrici con.... profilo a zig-zag
Quindi non vedo proprio nulla di strano nelle tue abitudini.
Però se i vari \(\mathbf{b}_i\) di \((\mathbf{b}_1 ... \mathbf{b}_n)\) fossero sì vettori, ma non considerabili elementi di un prodotto cartesiano $\mathbb{K}×...×\mathbb{K}$ con $\mathbb{K}$ campo, non credo che sarebbe lecito costruire questa matrice e tanto meno definire un prodotto matriciale... O ogni vettore è necessariamente trattabile come elemento di qualche $\mathbb{K}^m$?
Grazie di cuore ancora!!!
Grazie ancora!!!!!
Anche se probabilmente è un abuso di notazione, ho pensato che a volte si indica il prodotto vettoriale come
\[\mathbf{u}×\mathbf{v}=\det\begin{pmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{pmatrix}\]
cosa che non mi fa sembrare più tanto insolita la mia abitudine di scrivere prodotti di matrici con vettori al posto dei coefficienti, cosa che trovo particolarmente utile per visualizzare per esempio il fatto che, dette \(\mathbf{X}\in \mathbb{K}^n\) le coordinate di \(\mathbf{v}=\in V\) rispetto alla base \({\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_n}\) di $V$ e detta \({\mathbf{w}_1,...,\mathbf{w}_m}\) una base di $W$, l'applicazione lineare $L:V\to W$ che manda $\mathbf{v}$ in
\[L(\mathbf{v})=\sum_{k=1}^{m} A^{(k)}\mathbf{X} \mathbf{w}_k\]
dove \(A^{(k)}\mathbf{X}\) è il prodotto matriciale tra la k-esima riga della matrice $A$ associata a $L$ e le coordinate di $\mathbf{v}$, se fosse possibile scrivere queste "matrici di vettori" (vettori non necessariamente appartenenti a spazi \(\mathbb{K}^l\) per alcun $l$), scritta nel seguente modo farebbe balzare immediatamente all'occhio la relazione tra sé ($L$) e la matrice associata $A$:
*\(L(\mathbf{v})=(\mathbf{w}_1,...,\mathbf{w}_m) A \mathbf{X}, \mathbf{v}=(\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_n)\mathbf{X}\).
Qualcuno ha mai incontrato scritture del genere (con \(\mathbf{v}_i\in V\ne \mathbb{K}^l\) e \(\mathbf{w}_i\in W\ne\mathbb{K}^p\) per ogni $l,p\in NN$)?
Grazie ancora di cuore a tutti!
* Faccio precedere la scrittura da asterisco come si usa in linguistica per parole non esistenti o di incerta esistenza: non so in matematica se si faccia...
\[\mathbf{u}×\mathbf{v}=\det\begin{pmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{pmatrix}\]
cosa che non mi fa sembrare più tanto insolita la mia abitudine di scrivere prodotti di matrici con vettori al posto dei coefficienti, cosa che trovo particolarmente utile per visualizzare per esempio il fatto che, dette \(\mathbf{X}\in \mathbb{K}^n\) le coordinate di \(\mathbf{v}=\in V\) rispetto alla base \({\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_n}\) di $V$ e detta \({\mathbf{w}_1,...,\mathbf{w}_m}\) una base di $W$, l'applicazione lineare $L:V\to W$ che manda $\mathbf{v}$ in
\[L(\mathbf{v})=\sum_{k=1}^{m} A^{(k)}\mathbf{X} \mathbf{w}_k\]
dove \(A^{(k)}\mathbf{X}\) è il prodotto matriciale tra la k-esima riga della matrice $A$ associata a $L$ e le coordinate di $\mathbf{v}$, se fosse possibile scrivere queste "matrici di vettori" (vettori non necessariamente appartenenti a spazi \(\mathbb{K}^l\) per alcun $l$), scritta nel seguente modo farebbe balzare immediatamente all'occhio la relazione tra sé ($L$) e la matrice associata $A$:
*\(L(\mathbf{v})=(\mathbf{w}_1,...,\mathbf{w}_m) A \mathbf{X}, \mathbf{v}=(\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_n)\mathbf{X}\).
Qualcuno ha mai incontrato scritture del genere (con \(\mathbf{v}_i\in V\ne \mathbb{K}^l\) e \(\mathbf{w}_i\in W\ne\mathbb{K}^p\) per ogni $l,p\in NN$)?
Grazie ancora di cuore a tutti!
* Faccio precedere la scrittura da asterisco come si usa in linguistica per parole non esistenti o di incerta esistenza: non so in matematica se si faccia...
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