Vettori applicati
Ciao..non riesco a risolvere questo esercizio..qualcuno può aiutarmi?
Dati P, Q punti di E_3 (spazio euclideo 3-dimensionale) di coordinate P = (1, 2, 1), Q = (1, - 1, - 1) e il vettore v = e_1 – e_2 + 2e_3, (e_1, e_2, e_3 sono vettori che insieme costituiscono una base ortonormale positiva dello spazio vettoriale V_3) calcolare:
1) il momento polare di (P, v) rispetto al polo Q;
2) il momento polare di (Q, v) rispetto al polo P;
3) la retta d’azione di (P, v).
Dati P, Q punti di E_3 (spazio euclideo 3-dimensionale) di coordinate P = (1, 2, 1), Q = (1, - 1, - 1) e il vettore v = e_1 – e_2 + 2e_3, (e_1, e_2, e_3 sono vettori che insieme costituiscono una base ortonormale positiva dello spazio vettoriale V_3) calcolare:
1) il momento polare di (P, v) rispetto al polo Q;
2) il momento polare di (Q, v) rispetto al polo P;
3) la retta d’azione di (P, v).
Risposte
Per definizione il momento polare di $(P,vec(v)) $ rispetto
al polo Q e' dato da:
$vec(m)_Q=vec(QP)^^vec(v)=(0,3,2)^^(1,-1,2)$
Adoperando la solita regola del prodotto vettore si ha:
$vec(m)_Q=8vec(e)_1+2vec(e)_2-3vec(e)_3$
Analogamente si ha:
$vec(m)_P=-8vec(e)_1-2vec(e)_2+3vec(e)_3$
(in realta' e' il vettore applicato in P e di verso opposto a $vec(m)_Q$)
La retta d'azione del vettore applicato $(P,vec(v)) $ non e' altro
che la retta passante per P e parallela a $vec(v)$ ,ovvero la retta di
equazioni (cartesiane):
$(x-1)/1=(y-2)/(-1)=(z-1)/2$
karl
al polo Q e' dato da:
$vec(m)_Q=vec(QP)^^vec(v)=(0,3,2)^^(1,-1,2)$
Adoperando la solita regola del prodotto vettore si ha:
$vec(m)_Q=8vec(e)_1+2vec(e)_2-3vec(e)_3$
Analogamente si ha:
$vec(m)_P=-8vec(e)_1-2vec(e)_2+3vec(e)_3$
(in realta' e' il vettore applicato in P e di verso opposto a $vec(m)_Q$)
La retta d'azione del vettore applicato $(P,vec(v)) $ non e' altro
che la retta passante per P e parallela a $vec(v)$ ,ovvero la retta di
equazioni (cartesiane):
$(x-1)/1=(y-2)/(-1)=(z-1)/2$
karl
Grazie Karl!
Avrei altre 3 domande relative a questo esercizio a cui non riesco a rispondere...
Calcolare:
4) il braccio di (P, v) rispetto al polo Q;
5) il momento assiale di (Q, v) rispetto alla retta per P e parallela a u = v +2e_2 ;
6) il momento assiale di (P, v) rispetto alla retta per Q e parallela a v stesso.
Avrei altre 3 domande relative a questo esercizio a cui non riesco a rispondere...
Calcolare:
4) il braccio di (P, v) rispetto al polo Q;
5) il momento assiale di (Q, v) rispetto alla retta per P e parallela a u = v +2e_2 ;
6) il momento assiale di (P, v) rispetto alla retta per Q e parallela a v stesso.
Ciao..qualcuno può aiutarmi per favore a rispondere alle domande 4), 5), 6) dell'esercizio? 
4) il braccio b richiesto e' dato da:
$b=(|vec(m_Q)|)/(|vec(v)|)=(sqrt(8^2+2^2+3^2))/(sqrt(1^2+1^2+2^2))=sqrt(462)/6$
5)Si ha:
$vec(u)=vec(e_1)-vec(e_2)+2vec(e_3)+2vec(e_2)=vec(e_1)+vec(e_2)+2vec(e_3)$
$vec(t)=vers(vec(u))=(vec(u))/(|vec(u)|)=+-1/(sqrt(6))(vec(e_1)+vec(e_2)+2vec(e_3))$
[vers=versore,il doppio segno dipende da come e' orientata la retta data]
Per note formule il momento assiale $M_r$ voluto e' lo scalare:
$M_r=vec(PQ)^^vec(v)xxvec(t)$ e cioe':
$M_r=+-((0,-3,-2),(1,-1,2),(1/(sqrt6),1/(sqrt6),2/(sqrt6)))=+-((-2sqrt3))/(3)$
6)In questo caso il momento assiale e' nullo poiche'
il vettore $(P,vec(v))$ e la retta indicata dal testo sono paralleli.
karl
$b=(|vec(m_Q)|)/(|vec(v)|)=(sqrt(8^2+2^2+3^2))/(sqrt(1^2+1^2+2^2))=sqrt(462)/6$
5)Si ha:
$vec(u)=vec(e_1)-vec(e_2)+2vec(e_3)+2vec(e_2)=vec(e_1)+vec(e_2)+2vec(e_3)$
$vec(t)=vers(vec(u))=(vec(u))/(|vec(u)|)=+-1/(sqrt(6))(vec(e_1)+vec(e_2)+2vec(e_3))$
[vers=versore,il doppio segno dipende da come e' orientata la retta data]
Per note formule il momento assiale $M_r$ voluto e' lo scalare:
$M_r=vec(PQ)^^vec(v)xxvec(t)$ e cioe':
$M_r=+-((0,-3,-2),(1,-1,2),(1/(sqrt6),1/(sqrt6),2/(sqrt6)))=+-((-2sqrt3))/(3)$
6)In questo caso il momento assiale e' nullo poiche'
il vettore $(P,vec(v))$ e la retta indicata dal testo sono paralleli.
karl
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